在两条平行的直线AB和CD上分别取定一点M和N,在直线AB上取一定线段ME=a;在线段MN上取一点K,连接EK并延长交CD于F.试问K取在哪里△EMK与△FNK的面积之和最小?最小值是多少?
过点K作两条平行直线的公垂线PQ,
设PQ=l,MN=m,
令PK=x,则KQ=l-x
∴△EMK∽△FNK,
∴ME/NF=MK/NK,
又∵△MKP∽△NKQ,
∴MK/NK=KP/KQ ,
于是得到ME/NF=KP/KQ,NF=ME·KQ/KP=a(l-x)/x,
从而△EMK与△FNK的面积之和为S=1/2·x·a+1/2·(l-x)·a(l-x)/x=a/2·[x+(l-x)²/x]=a·(x-l+l²/2x)
=a((√x-l/√(2x))²+(√2-1)l),
∴当√x-l/√(2x)=0时,即x=√2/2时,S有最小值(√2-1)al。
追问请问:箭头处是如何变换的?
追答a·(x-l+l²/2x)=a·((√ x)²-2(√ x)(l/√(2x))+(l/√(2x))²+(√2-1)l)
=a((√x-l/√(2x))²+(√2-1)l),