数列极限求解

Question

如题所述

Answer 1

Hn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln (1+1/n)-ln(n)
=ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)
由于
lim Hn（n→∞）≥lim ln(1+1/n)（n→∞）=0
因此Hn有下界
而
Hn-H(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)]
=ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1)>ln(1+1/n)-1/n>0
所以Hn单调递减.由单调有界数列极限定理,可知Hn必有极限,因此
lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）存在追问

看不太懂

追答

哪一步看不懂？

追问

第二行

接着第一行的？

追答

ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln (1+1/n)-ln(n)=ln(2*(3/2)*(4/3).....*(n+1)/n)-ln(n)=ln(n+1)-ln(n)=ln((n+1)/n)=ln(1+1/n)对数运算法则，另外在求数列单调性那，ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)，根据拉格朗日中值定理，ln(n+1)-ln(n)=(1/n)*(n+1-n)=1/n，而1/n-1/(n+1)>0,也可证得数列单调递减。