高等数学。问个小知识点。数列an收敛是什么意思。能不能说明an极限存在，或者an单调有界。 我

Question

高等数学。问个小知识点。数列an收敛是什么意思。能不能说明an极限存在，或者an单调有界。 我就是想问an收敛能得到哪些信息

Answer 1

能说明。完全能够说明。
数列收敛当然存在极限,这两个说法是等价的；数列若是收敛则数列必然有界,反过来不一定成立!
例如：Xn=1,-1,1,-1,.
|Xn|<=1,是有界的,但是Xn不收敛
对于收敛的数列,他的极限小于等于界；这里的界有很多的,可以很大的,界不是唯一的,一般讨论最大（最小）的界比较有意义.追问

说明什么？

Answer 2

　　数列收敛和极限存在：数列是否收敛是用极限存在来定义的，所以数列收敛就表示极限一定存在。
　　如果数列收敛，那一定有界，没界的话没法极限存在了，就没法收敛了。
　　如果数列收敛，不一定单调，比如数列{1/n^2}收敛吧，但是你把他前三项换成1，2，1，其他项不动，这个数列极限仍然存在（为0），仍然收敛，但是单调吗？明显不单调。追问

嗯。例子很好。十分感谢～^_^

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Answer 3

设数列{Xn}，如果存在常数a，对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|<q成立，就称数列{Xn}收敛于a（极限为a），即数列{Xn}为收敛数列（Convergent Sequences）。
数列收敛<=>数列极限存在。
有界性

定义：设有数列xn , 若存在M>0,使得一切自然数n,恒有|Xn|<M成立，则称数列xn有界。
定理1：如果数列{Xn}收敛，那么该数列必定有界。
推论：无界数列必定发散；数列有界，不一定收敛；数列发散不一定无界。
数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件
保号性
如果数列{Xn}收敛于a，且a>0（或a<0），那么存在正整数N，当n>N时，都有Xn>0（或Xn<0）。

Answer 4

数列an收敛就是数列an存在极限。追问

单调。有界能推出极限存在。极限存在能不能推出单调有界