牛顿的重力计算公式(F=GMm/r2)本身非常简单，但它的推导过程却很少有人知道。由于这个公式的来源很不明确，所以几乎见不到介绍简单推导过程的文献。因此有人认为这个公式并不是牛顿推导出来的，而是他凭经验猜出来的。也因此而遗留下很多问题。例如：怎样才能简单推导这个公式?为什么在这个公式中会用到平方反比定律?公式中常数G的物理意义是什么?等等。
先决条件：重力必定产生在两个物体之间。这两个物体可以是有质量的任意物体，与它们自身的物理特性无关。
第一步：设有两个质心间距离为r的物体，质量分别是M1和M2。定义这两个物体各自的质量场密度分别为D1=M1/4πr2。D2=M2/4πr2。
第二步：用g1表示M2相对M1自由落体运动的重力加速度，用g2表示M1相对M2的重力加速度。那么，根据牛顿第二运动定律，这两个物体之间重力大小的数值为：F=M2g1=M1g2。因为从第一步中可以知道：M1=4πr2D1，M2=4πr2D2，所以，可以得到：4πr2·D2·g1=4πr2·D1·g2，化简得D2·g1=D1·g2。从这个结果可以得到的结论是：g1/D1=g2/D2=g/D=Gm。这个比值是一个常数，用Gm来表示。
自由落体公式003.jpg
第三步：从以上第二步(Gm=g/D)中得重力加速度的计算公式为：g=GmD。根据牛顿第二运动定律F=ma得，重力计算公式为：F=mg=mGmD。F=mGmD是一个与牛顿公式不同的重力计算公式，这个公式可以直接被用来计算重力。例如，计算地球表面的重力大小，只要先计算出地球表面的质量场密度D=M/4πr2，其中M是地球的质量，r是地球的半径，然后算出地球表面的重力加速度g=GmD，那么任何质量m物体的重力就可以通过F=mg计算出来了。
根据需要，可以从F=mGmD中推导出牛顿的重力公式(F=GMm/r2)。从上述第三步中已知：g=GmD，又已知牛顿的重力加速度计算公式为：g=GM/r2。其中G是牛顿引力常数。把这两个等式连接起来得：GmD=GM/r2。因为D=M/4πr2，所以得：Gm(M/4πr2)=GM/r2。等式两边同时把相同因子(M/r2)约掉，得：Gm/4π=G。等式两边同时乘以4π得：Gm=4πG。把这个式子带入到新重力计算公式中得：F=mGmD=m(4πG)D。因为D=M/4πr2，所以，F=4πmGD=4πGMm/4πr2=GMm/r2。这样就得到了牛顿的重力计算公式：F=GMm/r2。
同样，从牛顿的重力计算公式F=GMm/r2也可以推导出新重力计算公式F=mGmD。从上面已知：G=Gm/4π。把这个式子带入牛顿重力公式得：F=GMm/r2=(Gm/4π)Mm/r2。因为D=M/4πr2所以，F=mGm(M/4πr2)=mGmD。
先决条件：重力必定产生在两个物体之间。这两个物体可以是有质量的任意物体，与它们自身的物理特性无关。
第一步：设有两个质心间距离为r的物体，质量分别是M1和M2。定义这两个物体各自的质量场密度分别为D1=M1/4πr2。D2=M2/4πr2。
第二步：用g1表示M2相对M1自由落体运动的重力加速度，用g2表示M1相对M2的重力加速度。那么，根据牛顿第二运动定律，这两个物体之间重力大小的数值为：F=M2g1=M1g2。因为从第一步中可以知道：M1=4πr2D1，M2=4πr2D2，所以，可以得到：4πr2·D2·g1=4πr2·D1·g2，化简得D2·g1=D1·g2。从这个结果可以得到的结论是：g1/D1=g2/D2=g/D=Gm。这个比值是一个常数，用Gm来表示。
自由落体公式003.jpg
第三步：从以上第二步(Gm=g/D)中得重力加速度的计算公式为：g=GmD。根据牛顿第二运动定律F=ma得，重力计算公式为：F=mg=mGmD。F=mGmD是一个与牛顿公式不同的重力计算公式，这个公式可以直接被用来计算重力。例如，计算地球表面的重力大小，只要先计算出地球表面的质量场密度D=M/4πr2，其中M是地球的质量，r是地球的半径，然后算出地球表面的重力加速度g=GmD，那么任何质量m物体的重力就可以通过F=mg计算出来了。
根据需要，可以从F=mGmD中推导出牛顿的重力公式(F=GMm/r2)。从上述第三步中已知：g=GmD，又已知牛顿的重力加速度计算公式为：g=GM/r2。其中G是牛顿引力常数。把这两个等式连接起来得：GmD=GM/r2。因为D=M/4πr2，所以得：Gm(M/4πr2)=GM/r2。等式两边同时把相同因子(M/r2)约掉，得：Gm/4π=G。等式两边同时乘以4π得：Gm=4πG。把这个式子带入到新重力计算公式中得：F=mGmD=m(4πG)D。因为D=M/4πr2，所以，F=4πmGD=4πGMm/4πr2=GMm/r2。这样就得到了牛顿的重力计算公式：F=GMm/r2。
同样，从牛顿的重力计算公式F=GMm/r2也可以推导出新重力计算公式F=mGmD。从上面已知：G=Gm/4π。把这个式子带入牛顿重力公式得：F=GMm/r2=(Gm/4π)Mm/r2。因为D=M/4πr2所以，F=mGm(M/4πr2)=mGmD。
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第1个回答 2019-02-05
万有引力是由于物体具有质量而在物体之间产生的一种相互作用。它的大小和物体的质量以及两个物体之间的距离有关。物体的质量越大，它们之间的万有引力就越大；物体之间的距离越远，它们之间的万有引力就越小。
两个可看作质点的物体之间的万有引力，可以用以下公式计算：F＝GmM/r^2,即
万有引力等于引力常量乘以两物体质量的乘积除以它们距离的平方。其中G代表引力常量，其值约为6.67×10的负11次方单位
N·m2
/kg2。为英国科学家
卡文迪许通过扭秤实验测得。
万有引力的推导：若将行星的轨道近似的看成圆形，从开普勒第二定律可得行星运动的角速度是一定的，即：
ω=2π/T(周期)
如果行星的质量是m，离太阳的距离是r，周期是T，那么由运动方程式可得，行星受到的力的作用大小为
mrω^2=mr（4π^2）/T^2
另外，由开普勒第三定律可得
r^3/T^2=常数k'
那么沿太阳方向的力为
mr（4π^2）/T^2=mk'（4π^2）/r^2
由作用力和反作用力的关系可知，太阳也受到以上相同大小的力。从太阳的角度看，
（太阳的质量M）（k''）（4π^2）/r^2
是太阳受到沿行星方向的力。因为是相同大小的力，由这两个式子比较可知，k'包含了太阳的质量M，k''包含了行星的质量m。由此可知，这两个力与两个天体质量的乘积成正比，它称为万有引力。
如果引入一个新的常数（称万有引力常数），再考虑太阳和行星的质量，以及先前得出的4·π2，那么可以表示为
万有引力=(GmM)(r^2)
两个通常物体之间的万有引力极其微小，我们察觉不到它，可以不予考虑。比如，两个质量都是60千克的人，相距0.5米，他们之间的万有引力还不足百万分之一牛顿，而一只蚂蚁拖动细草梗的力竟是这个引力的1000倍！但是，天体系统中，由于天体的质量很大，万有引力就起着决定性的作用。在天体中质量还算很小的地球，对其他的物体的万有引力已经具有巨大的影响，它把人类、大气和所有地面物体束缚在地球上，它使月球和人造地球卫星绕地球旋转而不离去。
两个可看作质点的物体之间的万有引力，可以用以下公式计算：F＝GmM/r^2,即
万有引力等于引力常量乘以两物体质量的乘积除以它们距离的平方。其中G代表引力常量，其值约为6.67×10的负11次方单位
N·m2
/kg2。为英国科学家
卡文迪许通过扭秤实验测得。
万有引力的推导：若将行星的轨道近似的看成圆形，从开普勒第二定律可得行星运动的角速度是一定的，即：
ω=2π/T(周期)
如果行星的质量是m，离太阳的距离是r，周期是T，那么由运动方程式可得，行星受到的力的作用大小为
mrω^2=mr（4π^2）/T^2
另外，由开普勒第三定律可得
r^3/T^2=常数k'
那么沿太阳方向的力为
mr（4π^2）/T^2=mk'（4π^2）/r^2
由作用力和反作用力的关系可知，太阳也受到以上相同大小的力。从太阳的角度看，
（太阳的质量M）（k''）（4π^2）/r^2
是太阳受到沿行星方向的力。因为是相同大小的力，由这两个式子比较可知，k'包含了太阳的质量M，k''包含了行星的质量m。由此可知，这两个力与两个天体质量的乘积成正比，它称为万有引力。
如果引入一个新的常数（称万有引力常数），再考虑太阳和行星的质量，以及先前得出的4·π2，那么可以表示为
万有引力=(GmM)(r^2)
两个通常物体之间的万有引力极其微小，我们察觉不到它，可以不予考虑。比如，两个质量都是60千克的人，相距0.5米，他们之间的万有引力还不足百万分之一牛顿，而一只蚂蚁拖动细草梗的力竟是这个引力的1000倍！但是，天体系统中，由于天体的质量很大，万有引力就起着决定性的作用。在天体中质量还算很小的地球，对其他的物体的万有引力已经具有巨大的影响，它把人类、大气和所有地面物体束缚在地球上，它使月球和人造地球卫星绕地球旋转而不离去。
第2个回答 2019-02-05
万有引力是由于物体具有质量而在物体之间产生的一种相互作用。它的大小和物体的质量以及两个物体之间的距离有关。物体的质量越大，它们之间的万有引力就越大；物体之间的距离越远，它们之间的万有引力就越小。
第3个回答 2020-11-26
本视频主要介绍了万有引力的公式，与在公式发现过程中的许多物理学家做出的努力，尤其是我们要跟着牛顿的足迹来认识一下万有引力的公式
第4个回答 2020-04-06
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