如何求e的负x平方的次方在零到正无穷上的定积分?

Question

如题所述

Answer 1

求解e的负x平方的次方在零到正无穷上的定积分，此题可通过多种方法解决。其中，Wallis公式法及Euler第二积分法尤为关键。

Wallis公式法涉及不等式的巧妙使用。首先，明确不等式的形式，进而得到积分的不等式表达。通过分步令变量变化，即令x=sinθ，得到更易于处理的表达式。接着，通过相似变换与乘法操作，逐步导出Wallis公式及其变形。最后，对公式进行极限处理，获得最终解。

Euler第二积分法则聚焦于积分表达式的变形。通过令x=tanθ，将原积分转化为可识别的函数形式，利用三角函数的性质简化计算。运用余元公式进一步简化计算过程，揭示出伽马函数的性质，最终得出解。

Wallis公式与Euler第二积分法的解决路径清晰，通过巧妙变换与极限处理，分别从不同角度解析问题，有效求解了e的负x平方的次方在零到正无穷上的定积分。这两种方法不仅展示了数学的巧妙性，也揭示了概率论与特殊函数的紧密联系。