欢迎踏入一阶非线性偏微分方程的神秘世界,让我们首先揭示其核心结构:
非线性PDE的定义
在开集 内,已知函数 ,我们研究的是一阶非线性偏微分方程,其中未知函数 的表达式为:
∂u/∂t + F(x, u, ∂u/∂x) = 0
这个看似复杂的关系背后,隐藏着深刻的数学原理。
在面对难以求得显式解的挑战时,我们转向寻找隐含的结构,如完全积分和包络。
我们定义一个函数 为一阶非线性PDE的完全积分,当它满足条件:对于任意参数 ,对于每个t有u(x, t) = G(x, t, φ(t))且φ(t)是PDE的解。以下是几个关键例子:
包络为我们提供了一种构建新解的巧妙方法。定义为 ,其中 是开集,通过向量方程 。如果 ,则称 为 的包络,它有助于构造新的解集。
定理:若 为模型解且包络 存在且连续,那么 可能成为PDE的解,甚至有时被称为奇异积分。
例如,对于 u_t + (u^2)_{xx} = 0,通过计算我们可以得到奇异积分。
为了探索更广泛的解,我们引入h函数,对于任意开集 和h的像在A内,定义为依赖于h的通解的包络 。当这个包络存在且连续时,我们得以构造新的解集。
以例5中的Hamilton-Jacobi方程为例,通过特定的选择,我们能计算出包络作为解的一部分。
尽管找到了个别解,如u(x, t) = x^2 对于某个PDE,但这并不意味着我们已揭示了所有解。比如,方程 u_t + u^2u_x = 0,尽管已知解,但全体解的探索还需更深入的分析。