四阶行列式的计算公式是什么?

Question

如题所述

Answer 1

四阶行列式的计算公式是通过拉普拉斯展开来求解的。

首先，我们需要明确什么是拉普拉斯展开。拉普拉斯展开是一种递归计算行列式的方法，它基于行列式的某一行或某一列进行展开，将原行列式分解为若干低阶行列式的和。

对于四阶行列式，我们可以选择其中一行或一列进行展开。以选择第一行为例，四阶行列式可以表示为：

$D = a_{11}D_{11} - a_{12}D_{12} + a_{13}D_{13} - a_{14}D_{14}$

其中，$D_{11}$、$D_{12}$、$D_{13}$和$D_{14}$分别是将原行列式的第一行删除后，得到的以$a_{11}$、$a_{12}$、$a_{13}$和$a_{14}$为左上角元素的三阶行列式。

接下来，我们可以继续对三阶行列式$D_{11}$、$D_{12}$、$D_{13}$和$D_{14}$进行拉普拉斯展开，将其分解为二阶行列式的和。二阶行列式的计算相对简单，可以直接使用对角线法则进行计算。

最终，通过多次拉普拉斯展开，我们可以将四阶行列式转化为一系列二阶行列式的和，从而求得四阶行列式的值。

例如，考虑以下四阶行列式：

$\begin{vmatrix}

1 & 2 & 3 & 4 \\

5 & 6 & 7 & 8 \\

9 & 10 & 11 & 12 \\

13 & 14 & 15 & 16

\end{vmatrix}$

我们可以选择第一行进行展开，得到：

$= 1 \times \begin{vmatrix}

6 & 7 & 8 \\

10 & 11 & 12 \\

14 & 15 & 16

\end{vmatrix}

- 2 \times \begin{vmatrix}

5 & 7 & 8 \\

9 & 11 & 12 \\

13 & 15 & 16

\end{vmatrix}

+ 3 \times \begin{vmatrix}

5 & 6 & 8 \\

9 & 10 & 12 \\

13 & 14 & 16

\end{vmatrix}

- 4 \times \begin{vmatrix}

5 & 6 & 7 \\

9 & 10 & 11 \\

13 & 14 & 15

\end{vmatrix}$

然后，我们可以继续对每一个三阶行列式进行展开，最终将其转化为二阶行列式的和，并计算得到四阶行列式的值。

总结来说，四阶行列式的计算公式是通过拉普拉斯展开将原行列式分解为一系列低阶行列式的和，然后逐步计算得到最终结果。这种方法虽然计算量较大，但适用于任意阶数的行列式计算。