如何利用正弦定理和余弦定理求解三角形ABC中角B和边b的大小？

Question

如题所述

Answer 1

在三角形ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，正弦定理为我们揭示了a/sinA = b/sinB = c/sinC，巧妙变形后，我们有tanB = (2sinA - sinC + sinBcosA) / (sinBsinA)。三角形的奇妙之处在于sinC = sin(A + B)，进而sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB，这使得tanB的表达式简化为tanB = (2 - cosB) / sinB。进一步利用tanB的另一个定义，即tanB = sinB/cosB，我们可以得到sin²B = 2cosB - cos²B。结合三角恒等式1 = sin²B + cos²B，我们解得cosB = 1/2，从而B的度数揭晓，B = 60°。

继续运用正弦定理的威力，我们有面积S = 1/2acsinB，已知a = 8，S = 10√3，sinB = √3/2。计算得出sinC = √3/2，从而C的度数也是60°，满足等边三角形的特征。利用余弦定理b² = a² + c² - 2ac·cosB，代入数值，我们求得b = 7。

总结，通过正弦和余弦定理的结合，我们成功地计算出了三角形ABC的各个角和边，B和C均为60°，且b的长度为7。这个过程展示了三角函数在解决几何问题中的强大威力，希望这段内容对你的学习有所帮助。