高数 定积分的应用

Question

如题所述

Answer 1

定义域x≥0
V(ξ)=∫(0,ξ) π*[√x/(1+x²)]² dx
=π∫(0,ξ) [x/(1+x²)²] dx
=(π/2)∫(0,ξ) [1/(1+x²)²] dx²
=(π/2)∫(0,ξ) [1/(1+x²)²] d(1+x²)
=-(π/2)[1/(1+x²)] | (0,ξ)
=-(π/2)[1/(1+ξ²)-1]
=πξ²/2(1+ξ²)
lim(ξ→∞) V(ξ)=lim(ξ→∞)πξ²/2(1+ξ²)=π/2
∴V(a)=(1/2)lim(ξ→∞) V(ξ)=π/4
即πa²/2(1+a²)=π/4
∴2a²=1+a²
a=1或a=-1(在定义域外，舍去)
∴a=1追问

这个怎么求

追答

lim(ξ→∞) ln(1+ξ²)→∞
至于为什么V(a)＝πa²/2(1+a²)
前面解答中计算出了V(ξ)＝πξ²/2(1+ξ²)，这里不过是把ξ换成a而已

Answer 2

V（ξ)=∫（0，ξ)πy²dx=π∫（0，ξ)x/（1+x²）²dx=（π/2）∫（0，ξ)1/（1+x²）²d（1+x²）
=-（π/2）/（1+x²）(0,ξ)
=-（π/2）[1/（1+ξ²）-1]
=（π/2）ξ²/（1+ξ²）
极限下面的符号看不清。
V（a)=（π/2）a²/（1+a²）
ξ--->+∞？V（ξ)-->π/2追问

趋向于 无穷

能写在纸上吗 这样不好看😊

追答

V（a)=（π/2）a²/（1+a²）=π/4
a²/（1+a²）=1/2,
a²=1
a=1

追问

这个怎么求

追答

无穷大，对数函数单增

追问

不太懂

追答

y=lnx，x无穷大，y也是无穷大。

我在电脑上修改过，可能手机知道上看不到。用浏览器登录看见

ξ=a代入