z=4(x-y)-x^2-y^2 求极值

Question

令0=Zx=4-2x , 0=Zy=-4-2y 得到一个点（=2，-2）然后Zxx=-2 Zyy=-2 Zxy=0 K=Z^2xy-Zxx*Zxy=-4 K(2,-2)=-4 Z(2,-2)=-2, 函数在（2，-2）有极大值为8
这里的Zxx是对Zx的二次求导 但是Zxy是什么啊这个不懂 望求助啊
解题中K(2,-2)=-4<0 Zxx(2,-2)=-2<0 函数在（2，-2）有极大值8 注： Zxx(2,-2)=-2<0 写出这个有什么作用

Answer 1

注意这里的 判别式 应是：
K=Z^2xy-Zxx*Zyy
Zxx是Z对x的二阶偏导数；
Zyy是Z对y的二阶偏导数；
Zxy是Z对x再对y的二阶混合偏导数，对混合偏导数如都是连续的，则还有：
Zxy=Zyx 即：求混合偏导数与求偏导的次序（先对x，还是先对y）无关；

至于为什么可以通过判别式 K=Z^2xy-Zxx*Zyy 判断极值，则一般用Taylor展式推导【如有的话，看看书上二元函数的二阶Taylor展式，展到二阶即可，可以不用了解】，但是本定理的结论是重要的，一定要会模仿并应用。

实际上 判别式：K=Z^2xy-Zxx*Zyy 的判别作用等同于二次多项式的无实根的判别式，K<0 时Taylor展式在定点邻域内恒不为0，故极值存在。
此时【自己类比一下二次多项式】：
Zxx 的正负判断作用是判别极值是 极大值还是极小值；
Zxx<0 极值是 极大值；
Zxx>0 极值是 极小值；
注意：K=Z^2xy-Zxx*Zyy < 0 时，Zxx，Zyy同号，用谁判断都一样。

Answer 2

Zxy是Zx对y求导，也就是Z先对x求导数一次，再对得到的结果对y求导一次，即偏导数。

偏导数是大学里《高等数学》里的知识，如果你是中学生的话，此题也可以这样解：
z=4(x-y)-x^2-y^2
-z=x^2+y^2-4(x-y)
-z=x^2+y^2-4x+4y
-z=[(x-2)^2+(y+2)^2]-8
z=-[(x-2)^2+(y+2)^2]+8
因为[(x-2)^2+(y+2)^2]≥0
所以-[(x-2)^2+(y+2)^2]+8≤8
即z≤8