已知椭圆的中心在原点，准线方程为x=±4，如果直线 ：3x-2y=0与椭圆的交点在x轴上的射影恰为椭圆的焦点

Question

已知椭圆的中心在原点，准线方程为x=±4，如果直线 ：3x-2y=0与椭圆的交点在x轴上的射影恰为椭圆的焦点． (1)求椭圆方程；(2)设直线 与椭圆的一个交点为P，F是椭圆的一个焦点，试探究以PF为直径的圆与椭圆长轴为直径的圆的位置关系； (3)把(2)的情况作一推广：写出命题（不要求证明）

Answer 1

解：(1)设椭圆方程为  (a>b>0) 直线3x-2y=0与椭圆的一个交点的坐标是 ，代入椭圆方程得：   又    a 2 =b 2 +c 2 ∴ a=2     C=1 ∴                ………………5分 (2)由(1)知，直线与椭圆的一个交点为 ，F(1,0)，则从PF为直径的圆的方程 ，圆心为 ，半径为 以椭圆长轴为直径的圆的方程为x 2 +y 2 =4，圆心(0，0)，半径为2 两圆圆心之间距离为 ∴两圆内切              ………………8分 P、F为其它三种情况时，两圆都为内切    ………………10分 (3)如果椭圆的方程是  (a>b>0)，P是椭圆上的任意一点，F是椭圆的一个焦点，则以PF长为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆是内切关系。                   …………13分 （如P写成椭圆上的定点，此问只给1分）

略