菱形ABCD边长2角BAD=120°,E,F分别在BC,DC上BC=3BE,AE向量乘AF向量=1求DC=几倍DF

Question

如题所述

Answer 1

可以连接对角线以後建立直角坐标系,用解析几何的方法算出来.
设边长为2,容易根据已知条件得短对角线是2,长对角线是2√3
B(-√3,0),C(0,-1),D(√3,0),A(0,1)
定比分点坐标公式,∵BE=1/2*EC,∴带入公式得E(-2√3/3,-1/3)
AE→=(-2√3/3,-4/3)
设DF=kFC,F(x,y),有x=√3/(1+k),y=-k/(1+k)
AF→=(√3/(1+k),-(1+2k)/(1+k))
AE→*AF→=1,所以有x1x2+y1y2=1,解得k=1
∴F是中点,DC=2DF

Answer 2

设DC=λDF
∵ABCD为菱形
∴AB向量=DC向量 AD向量=BC向量
∵ AE向量·AF向量=1 (以下向量表示不加向量两字，即AD表示为AD向量)
(AD+DF)·(AB+BF)=1
AD·AB+AB·DF+AD·BE+DF·BE=1
AD·AB+1/λAB·DC+1/3AD·BC+1/(3λ)DC·BC=1
|AD|·|AB|·cos120°+1/λ|AB|·|DC|·cos0°+1/3|AD|·|BC|·cos0°+1/(3λ)|DC|·|BC|·cos120°=1
2·2·(-1/2)+1/λ·2·2·1+1/3·2·2·1+1/(3λ)·2·2·(-1/2)=1
-2+4/λ+4/3-2/(3λ)=1
4+4λ/3-2/3=3λ
10=5λ
λ=2
∴DC=2DF