求一曲线方程，该曲线通过原点，且它在点(x，y)处的切线斜率等于2x+y。

Question

如题所述

Answer 1

【答案】：设所求的曲线方程为y=f(x)，根据题意有y'=2x+y，即y'-y=2x，此为所求曲线满足的微分方程，它是一阶线性非齐次方程，其中P(x)=-1，Q(x)=2x。
可得方程y'-y=2x的通解为
y=e^x[C-2e^-x(x+1)]=Ce^x-2(x+1)
又由题设，曲线通过原点，即y|_x=0=0，代入通解，得C=2，从而所求的曲线方程是y=2(e^x-x-1)。