极值与最值的区别与联系是什么？

Question

如题所述

Answer 1

极值和最值都是数学中用来描述函数或集合中的特殊值的概念，但它们有着不同的含义和用途。
1. 极值（extrema）：极值是指函数在某个区间或集合上取得的最大值或最小值。极值分为两种类型：最大值和最小值。
- 最大值（maximum）：函数在某个区间或集合上取得的最大值称为最大值。记作f(x) = max，其中x是使得函数取得最大值的自变量。
- 最小值（minimum）：函数在某个区间或集合上取得的最小值称为最小值。记作f(x) = min，其中x是使得函数取得最小值的自变量。
举例说明：
考虑函数f(x) = x^2 - 4x + 3，该函数在闭区间[0, 4]上的极值为最小值。
- 最大值：在区间[0, 4]上，函数的最大值为f(2) = 1。因此，最大值为1。
- 最小值：在区间[0, 4]上，函数的最小值为f(2) = 1。因此，最小值为1。
2. 最值（absolute extremum）：最值是指函数在整个定义域上取得的最大值或最小值。最值也分为两种类型：最大值和最小值。
- 最大值（maximum）：函数在整个定义域上取得的最大值称为最大值。记作f(x) = max，其中x是使得函数取得最大值的自变量。
- 最小值（minimum）：函数在整个定义域上取得的最小值称为最小值。记作f(x) = min，其中x是使得函数取得最小值的自变量。
举例说明：
考虑函数f(x) = x^2 - 4x + 3，该函数在整个实数域上的最值为最小值。
- 最大值：在整个实数域上，函数的最大值为无穷大（不存在）。
- 最小值：在整个实数域上，函数的最小值为-1。因此，最小值为-1。
总结：
极值是函数在某个区间或集合上取得的最大值或最小值，而最值是函数在整个定义域上取得的最大值或最小值。极值是在特定区间或集合内的局部最大值或最小值，而最值是在整个定义域内的全局最大值或最小值。

Answer 2

1、代表意义不同

最值，是函数的定义域内的最高点和最低点。函数最值分为函数最小值与函数最大值。简单来说，最小值即定义域中函数值的最小值，最大值即定义域中函数值的最大值。函数最大（小)值的几何意义：函数图像的最高（低）点的纵坐标即为该函数的最大（小）值。

函数极值是一定范围内（给定区间）内取得的最大值或最小值，分别称为极大值或极小值，极值也称为相对极值或局部极值。

2、包含关系不同

极值可能是最值，但是最值不一定是极值。另外，开区间的极值点一定是最值点。例如：

例如：y = x³ - x (-5 ≤ x ≤ 5)。 极大值在 x=-1 跟 x=0 之间，极小值在 x=0 跟 x=1 之间。 而最小值在 x=-5 处，Y最小= -120；最大值在 x=5 处，Y最大=120 。