矩阵相似，为什么特征值相同？

Question

如题所述

Answer 1

矩阵A与它的转置矩阵有相同的（Jordan）矩阵，所以相似。

若AX=b, A是系数矩阵，假定|A|不等于0，有X=A逆*b

如果A转置，方程组变为A'X=b,此时X=A'逆*b

由于通常A逆跟A'逆是不同的（单位矩阵除外），因此方程组的解X会发生变化。

扩展资料

设矩阵A经过初等行变换之后，化为上三角矩阵B，则A等价于B。

矩阵A'经过初等列变换之后，可化为下三角矩阵C，则A'等价于C。

显然，B的转置矩阵B'=C。

因为，转置之后对角线上的元素不变，所以，B和C的对角线元素相等。

因为，三角形行列式的值等于对角线上元素的乘积。

又因为，|λI-A|=|λI-B|=对角线上元素的乘积。

|λI-A'|=|λI-C|=对角线上元素的乘积。

所以，|λI-A|=|λI-A'|。

所以，矩阵A与矩阵A的转置矩阵的特征值相同。

将A的所有元素绕着一条从第1行第1列元素出发的右下方45度的射线作镜面反转，即得到A的转置。