特征多项式相同则矩阵相似吗？

Question

如题
请解释一下为什么？

Answer 1

不一定相似。
特征多项式相同，则两个矩阵具有相同本征值。（这两个是充要条件）但是两个具有相同本征值得矩阵不一定相似。一般而言，当本征值有简并时，矩阵不一定能通过相似变换对角化，在这种情况下，可以相似变换到对角阵的矩阵（至少对角阵本身）与一般的不能通过相似变换到对角阵的矩阵不相似。

我解释得已经够清楚了，不知道你还想要什么解释。如果是对角化的问题，请自行翻阅线性代数或高等代数教科书，或者在百度知道里搜索对角化。简而言之，Ax=ax,若特征值a是m重简并的，但是解空间x却不一定有m维（也即有m个线性无关的x满足Ax=ax)。如果是为什么特征多项式相同等价于特征值相同。很简单，假如特征值为a1,a2,a3....an则特征多项式就是(m-a1)(m-a2)...(m-an)

Answer 2

不一定 因为在特征多项式中你是看不出来每个特征值的几何重数的，可能代数重数相同，但几何重数不同，这样就没法相似