已知函数 .（Ⅰ）若

Question

已知函数 .（Ⅰ）若 时， ，求 的最小值；（Ⅱ）设数列 的通项 ，证明： .

Answer 1

（Ⅰ） （Ⅱ）见解析

（Ⅰ）由已知 ， ， . 若 ，则当 时， ，所以 . 若 ，则当 时， ，所以当 时， . 综上， 的最小值是 . （Ⅱ）证明：令 .由（Ⅰ）知，当 时， ， 即 . 取 ，则 . 于是 . 所以 . （1）通过求导的方法研究函数的单调性，进而判断满足条件的 的范围，确定其最小值；（2）借助第一问的结论，得到不等式 进而构造 达到证明不等式的目的. 【考点定位】本题考查导数的应用与不等式的证明，考查学生的分类讨论思想和利用构造法证明不等式的解题能力.

Answer 2

【分析】
逆矩阵定义：若n阶矩阵A，B满足AB=BA=E，则称A可逆，A的逆矩阵为B。

【解答】
A³-A²+3A=0，
A²(E-A)+3(E-A)=3E，
(A²+3)(E-A) = 3E
E-A满足可逆定义，它的逆矩阵为(A²+3)/3

【评注】
定理：若A为n阶矩阵，有AB=E，那么一定有BA=E。

所以当我们有AB=E时，就可以直接利用逆矩阵定义。而不需要再判定BA=E。
对于这种抽象型矩阵，可以考虑用定义来求解。
如果是具体型矩阵，就可以用初等变换来求解。

线性代数包括行列式、矩阵、线性方程组、向量空间与线性变换、特征值和特征向量、矩阵的对角化，二次型及应用问题等内容。

Answer 3

（Ⅰ） （Ⅱ）见解析    

答案：（Ⅰ）由已知 ， ， .
若 ，则当 时， ，所以 .
若 ，则当 时， ，所以当 时， .
综上， 的最小值是 .
（Ⅱ）证明：令 .由（Ⅰ）知，当 时， ，
即 .
取 ，则 .
于是 
 
 
 
 .
所以 .
（1）通过求导的方法研究函数的单调性，进而判断满足条件的 的范围，确定其最小值；（2）借助第一问的结论，得到不等式 进而构造 达到证明不等式的目的.