第十条 建立劳动关系,应当订立书面劳动合同。
已建立劳动关系,未同时订立书面劳动合同的,应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。
第三十七条 劳动者提前三十日以书面形式通知用人单位,可以解除劳动合同。劳动者在试用期内提前三日通知用人单位,可以解除劳动合同。
通过这两条规定可以看出,半个月没有签合同不违法;试用期提出辞职,用人单位应该答应,解除合同(虽然没有纸面的,但是事实上已经建立了劳动关系),既然存在劳动关系,就必须为你的劳动支付工资。所以不给你工资和不同意你离职都是不合法的。
对于这种情况,你可以申请劳动仲裁。到劳动监察部门申请就可以了。不过要注意证据的收集,就是你的入职日期,以及能够证明你在这里工作的证据。
参考资料:劳动合同法