本人是做物流的，分享下经验给你。
沈阳运东西到韩国属于出境（即出口），有两种情况：
报关
快递
一般商业产品才走报关途径，这里不多说；
小件货物：文件、小包裹之类的可以走国际快递，据我所知国内各家快递公司很少能做国际业务。即使承诺你可以走国际快件，估计也是委托给别人做的，你是发货人不需要知道内幕，直接看到结果就行。
所以你关心的是时间、费用。
中国的物品到韩国只有两种运输途径：空运、海运。
空运1天时间、海运3天。
费用你都可以去航空公司、船公司网站查询，直接百度首页搜索就行。
查到的信息只能作为参考，真实的费用和时间肯定会超过理论值，合理即可。