2020高考数学题型之数列
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第1个回答 2018-01-31
a1=1,a(n+1)=an+1/an
（1）不知道要证明啥
（2）证明√(2n-1)≤an≤√(3n-2)
（3）求正整数m使得|a2017-m|最小
（2）
经验证n=1，2，3，4时不等式都成立，假设当n=N时不等式成立，即√(2N-1)≤aN≤√(3N-2)，则2N-1≤aN^2≤3N-2。
则当n=N+1时，2(N+1)-1<2N-1+2+1/(3N-2)≤a(N+1)^2=aN^2+1/aN^2+2≤3N-2+2+1/(2N-1)≤3N-2+2+1=3(N+1)-2
所以√[2(N+1)-1]≤a(N+1)≤√[3(N+1)-2]
所以当n=N+1时，不等式也成立。即对于任意正整数n，都有√(2n-1)≤an≤√(3n-2)。
（3）
由（2）可知√3969=63<√4033≤a2017≤√6049<78=√6084,
为了方便，我们把a2017往回走遍历a2016，a2015，...，an的做法叫下行，而往前遍历a2018，a2019，...，ak的做法叫上行。
1/78<a2017-a2016=1/a2016<1/63,1/78<a2018-a2017=1/a2017<1/63
则上两式表明下行时最多不超过78次，an的值就要比a2017减小1；而上行时，最少要63次ak的值才比a2017增加1.因为下行时an减小的速度会越来越快，而上行时增加的速度会越来越慢。
现在来看a(2017-78)=a1939和a(2017+63)=a2080的情况
62<√3877≤a1939≤√5815<77，64<√4159≤a2080≤√6238<79
4033≤a2017^2≤6049
4033=3n-2,n=1345;6049=2n-1,n=3025,3025-1345=1680
则2689≤a1345^2≤4033,6049≤a3025^2≤9073,6049-2689=3360=1680*2,下限不计
2691≤a1346^2≤4036,6047≤a3024^2≤9070
1/4033+2≤a1346^2-a1345^2=1/a1345^2+2≤1/2689+2
1/9070+2≤a3025^2-a3024^2=1/a3024^2+2≤1/6047+2
2017-1345=672,上限为4033+672*2=5377,672/4033<误差<672/2689
3025-2017=1008，下限为6049-1008*2=4033
3025-1345=1680,4033+1680*2=7393，7393-1008*2=5377
2689=3n-2，n=897，1793≤a897^2≤2689，1795≤a898^2≤2692，
2+1/2689≤a898^2-a897^2=1/a897^2+2≤2+1/1793
2017-897=1120,2689+1120*2=4929=a2017^2上限，1120/2689<误差<1120/1793
1793=3n-2,n=599,1197≤a599^2≤1795,
2+1/1795≤a600^2-a599^2=2+1/a599^2≤2+1/1197
2017-599=1418,1795+1418*2=4633=a2017^2上限，1428/1795<误差<1418/1197
1197+1=3n-2,n=400,799≤a400^2≤1198,
2+1/1198≤a401^2-a400^2=2+1/a400^2≤2+1/799
2017-400=1617,1201+1617*2=4435=a2017^2上限，1617/1198<误差<1616/799
799=3n-2,n=267,533≤a267^2≤799,
2+1/799≤a268^2-a267^2=2+1/a267^2≤2+1/533
2017-267=1750,799+1750*2=4299=a2017^2上限，1750/799<误差<1750/533
533+1=3n-2,n=179,357≤a179^2≤535,
2+1/535≤a268^2-a267^2=2+1/a267^2≤2+1/357
2017-179=1750,535+1838*2=4211=a2017^2上限，1838/535<误差<1838/357
359-1=3n-2,n=120,239≤a120^2≤358,
2+1/358≤a121^2-a120^2=2+1/a120^2≤2+1/239
2017-120=1750,358+1897*2=4152=a2017^2上限，4<1897/358<误差<1897/239<8
到此终于可以结束了，因为a2017^2上限4152即使加上最大误差8开方后也小于64.5，
而a2017^2下限4033开方后大于63.5，所以m=64.本回答被提问者和网友采纳
（1）不知道要证明啥
（2）证明√(2n-1)≤an≤√(3n-2)
（3）求正整数m使得|a2017-m|最小
（2）
经验证n=1，2，3，4时不等式都成立，假设当n=N时不等式成立，即√(2N-1)≤aN≤√(3N-2)，则2N-1≤aN^2≤3N-2。
则当n=N+1时，2(N+1)-1<2N-1+2+1/(3N-2)≤a(N+1)^2=aN^2+1/aN^2+2≤3N-2+2+1/(2N-1)≤3N-2+2+1=3(N+1)-2
所以√[2(N+1)-1]≤a(N+1)≤√[3(N+1)-2]
所以当n=N+1时，不等式也成立。即对于任意正整数n，都有√(2n-1)≤an≤√(3n-2)。
（3）
由（2）可知√3969=63<√4033≤a2017≤√6049<78=√6084,
为了方便，我们把a2017往回走遍历a2016，a2015，...，an的做法叫下行，而往前遍历a2018，a2019，...，ak的做法叫上行。
1/78<a2017-a2016=1/a2016<1/63,1/78<a2018-a2017=1/a2017<1/63
则上两式表明下行时最多不超过78次，an的值就要比a2017减小1；而上行时，最少要63次ak的值才比a2017增加1.因为下行时an减小的速度会越来越快，而上行时增加的速度会越来越慢。
现在来看a(2017-78)=a1939和a(2017+63)=a2080的情况
62<√3877≤a1939≤√5815<77，64<√4159≤a2080≤√6238<79
4033≤a2017^2≤6049
4033=3n-2,n=1345;6049=2n-1,n=3025,3025-1345=1680
则2689≤a1345^2≤4033,6049≤a3025^2≤9073,6049-2689=3360=1680*2,下限不计
2691≤a1346^2≤4036,6047≤a3024^2≤9070
1/4033+2≤a1346^2-a1345^2=1/a1345^2+2≤1/2689+2
1/9070+2≤a3025^2-a3024^2=1/a3024^2+2≤1/6047+2
2017-1345=672,上限为4033+672*2=5377,672/4033<误差<672/2689
3025-2017=1008，下限为6049-1008*2=4033
3025-1345=1680,4033+1680*2=7393，7393-1008*2=5377
2689=3n-2，n=897，1793≤a897^2≤2689，1795≤a898^2≤2692，
2+1/2689≤a898^2-a897^2=1/a897^2+2≤2+1/1793
2017-897=1120,2689+1120*2=4929=a2017^2上限，1120/2689<误差<1120/1793
1793=3n-2,n=599,1197≤a599^2≤1795,
2+1/1795≤a600^2-a599^2=2+1/a599^2≤2+1/1197
2017-599=1418,1795+1418*2=4633=a2017^2上限，1428/1795<误差<1418/1197
1197+1=3n-2,n=400,799≤a400^2≤1198,
2+1/1198≤a401^2-a400^2=2+1/a400^2≤2+1/799
2017-400=1617,1201+1617*2=4435=a2017^2上限，1617/1198<误差<1616/799
799=3n-2,n=267,533≤a267^2≤799,
2+1/799≤a268^2-a267^2=2+1/a267^2≤2+1/533
2017-267=1750,799+1750*2=4299=a2017^2上限，1750/799<误差<1750/533
533+1=3n-2,n=179,357≤a179^2≤535,
2+1/535≤a268^2-a267^2=2+1/a267^2≤2+1/357
2017-179=1750,535+1838*2=4211=a2017^2上限，1838/535<误差<1838/357
359-1=3n-2,n=120,239≤a120^2≤358,
2+1/358≤a121^2-a120^2=2+1/a120^2≤2+1/239
2017-120=1750,358+1897*2=4152=a2017^2上限，4<1897/358<误差<1897/239<8
到此终于可以结束了，因为a2017^2上限4152即使加上最大误差8开方后也小于64.5，
而a2017^2下限4033开方后大于63.5，所以m=64.本回答被提问者和网友采纳
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