为什么说连续的曲线上每一点处都有切线是错的

Question

如题所述

Answer 1

对任意一条曲线上的任意一点，不一定能做出切线。因为曲线的定义是广泛的，所以：（1）.曲线在该点不连续，无法做出切线。如:f(x)=x(x≠2)且f(2)=1,在x=2处无切线。（2）.曲线在该点连续，但不可导。如f(x)=|x|在点x=0，虽连续，但无切线。
即使是曲线在该点不可导，也不能说切线不存在。切线的斜率可能不存在。如f(x)=三次跟号下x，在x=0处存在切线，但不可导。所以是否存在切线，与函数在该点是否可导，不是充分必要的。

Answer 2

例如连续函数f（x）=|x|
这个函数在实数范围内，任何点都连续，但是在x=0点处没有切线。因为从左边看，切线是y=-x，从右边看，切线是y=x，没有一个统一的切线。所以说没有切线（而不能说有两个切线）