sinx分之一为什么单调递减？

Question

如题所述

Answer 1

$\frac{1}{\sin x}$ 在 $(0,\pi)$ 内是单调递减的。
证明如下：
对于 $0<x_1<x_2<\pi$，有 $\sin x_1 < \sin x_2$。
因为 $\sin x > 0$，所以 $\frac{1}{\sin x}$ 的单调性可以等价于证明 $\frac{1}{\sin x}$ 的导数 $\frac{-\cos x}{\sin^2 x}$ 在 $(0,\pi)$ 内为负数。
由于 $0<x_1<x_2<\pi$，所以 $0<x_2-x_1<\pi$，且由 $\sin$ 函数的单调性可知 $\sin x_1 < \sin x_2$。
由于 $\cos$ 函数在 $(0,\pi)$ 内是单调递减的，所以 $\cos x_2 < \cos x_1$。
因此，$\frac{\cos x_2}{\sin^2 x_2} < \frac{\cos x_1}{\sin^2 x_1}$，即 $\frac{-\cos x}{\sin^2 x}$ 在 $(0,\pi)$ 内为负数，从而 $\frac{1}{\sin x}$ 在 $(0,\pi)$ 内是单调递减的。

Answer 2

对于 $sin(x)$，当 $x$ 在 $[0,\pi/2]$ 区间内单调递增，因此 $\frac{1}{sin(x)}$ 在该区间上单调递减。
当 $x$ 在 $[\pi/2,\pi]$ 区间内递减，因此 $\frac{1}{sin(x)}$ 在该区间上单调递减。
当 $x$ 在 $[\pi,3\pi/2]$ 区间内单调递增，因此 $\frac{1}{sin(x)}$ 在该区间上单调递减。
当 $x$ 在 $[3\pi/2,2\pi]$ 区间内递减，因此 $\frac{1}{sin(x)}$ 在该区间上单调递减。
综上所述，$\frac{1}{sin(x)}$ 在整个定义域内都是单调递减的。