2005年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
数学（理工农医类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
祝各位考生考试顺利！
第I卷（选择题 共60分）
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数 的共轭复数是 （ ）
A． B． C． D．
2．已知等差数列 中， ，则 的值是 （ ）
A．15 B．30 C．31 D．64
3．在△ABC中，∠C=90°， 则k的值是 （ ）
A．5 B．－5 C． D．
4．已知直线m、n与平面 ，给出下列三个命题：
①若
②若
③若
其中真命题的个数是 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．函数 的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
6．函数 的部分图象如图，则 （ ）
A． B．
C． D．
7．已知p： 则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB=2，
AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中
点，则异面直线A1E与GF所成的角是（ ）
A． B．
C． D．
9．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 （ ）
A．300种 B．240种 C．144种 D．96种
10．已知F1、F2是双曲线 的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 （ ）
A． B． C． D．
11．设 的最小值是 （ ）
A． B． C．－3 D．
12． 是定义在R上的以3为周期的奇函数，且 在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置。
13． 展开式中的常数项是 （用数字作答）。
14．非负实数 满足 的最大值为 。
15．若常数b满足|b|>1，则 .
16．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：
若函数 的图象与 的图象关于 对称，则函数 =
。
（注：填上你认为可以成为真命题的一件情形即可，不必考虑所有可能的情形）.
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
已知 .
（I）求sinx－cosx的值；
（Ⅱ）求 的值.
18．（本小题满分12分）
甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为 ，投中得1分，投不中得0分.
（Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和ξ的数学期望；
（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率；
19．（本小题满分12分）
已知函数 的图象在点M（－1，f(x)）处的切线方程为x+2y+5=0.
（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；
（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间.
20．（本小题满分12分）
如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.
（Ⅰ）求证AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角B—AC—E的大小；
（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离.
21．（本小题满分12分）
已知方向向量为v=(1, )的直线l过点（0，－2 ）和椭圆C： 的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在过点E（－2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足 ，
cot∠MON≠0（O为原点）.若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由.
22．（本小题满分14分）
已知数列{an}满足a1=a, an+1=1+ 我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a=1时，得到无穷数列：
（Ⅰ）求当a为何值时a4=0；
（Ⅱ）设数列{bn¬}满足b1=－1, bn+1= ，求证a取数列{bn}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{an}；
（Ⅲ）若 ，求a的取值范围.
2005年高考理科数学试题参考答案（福建卷）
一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.
1.B 2.A 3.A 4.C 5.D 6.C 7.A 8.D 9.B 10.D 11.C 12.D
二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分.
13.240 14.9 15.
16.如 ①x轴，－3－log2x ②y轴，3+log2(－x)
③原点，－3－log2(x) ④直线y=x, 2x－3
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等基本知识，以及推理和运算能力.满分12分.
解法一：（Ⅰ）由
即
又
故
（Ⅱ）
解法二：（Ⅰ）联立方程
由①得 将其代入②，整理得
故
（Ⅱ）
18．本小题主要考查概率的基本知识，运用数学知识解决问题的能力，以及推理和运算能力. 满分12分.
解：（Ⅰ）依题意，记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，则
甲、乙两人得分之和ξ的可能取值为0、1、2，则ξ概率分布为：
ξ 0 1 2
P
Eξ=0× +1× +2× =
答：每人在罚球线各投球一次，两人得分之和ξ的数学期望为 .
（Ⅱ）∵事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为
∴甲、乙两人在罚球线各投球两次至少有一次命中的概率
答：甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为
19．本小题主要考查函数的单调性，导数的应用等知识，考查运用数学 知识，分析问题和解决问题的能力.满分12分.
解：（1）由函数f(x)的图象在点M（－1f(－1)）处的 切线方程为x+2y+5=0，知
20．本小题主要考查直线、直线与平面、二面角及点到平面的距离等基础知识，考查空间想
象能力，逻辑思维能力与运算能力. 满分12分.
解法一：（Ⅰ） 平面ACE.
∵二面角D—AB—E为直二面角，且 ， 平面ABE.
（Ⅱ）连结BD交AC于C，连结FG，
∵正方形ABCD边长为2，∴BG⊥AC，BG= ，
平面ACE，
由三垂线定理的逆定理得FG⊥AC.
是二面角B—AC—E的平面角.
由（Ⅰ）AE⊥平面BCE， 又 ，
∴在等腰直角三角形AEB中，BE= .
又 直角
，
∴二面角B—AC—E等于
（Ⅲ）过点E作 交AB于点O. OE=1.
∵二面角D—AB—E为直二面角，∴EO⊥平面ABCD.
设D到平面ACE的距离为h，
平面BCE，
∴点D到平面ACE的距离为
解法二：（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）以线段AB的中点为原点O，OE所在直
线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行
于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系
O—xyz，如图.
面BCE，BE 面BCE， ，
在 的中点，
设平面AEC的一个法向量为 ，
则
解得
令 得 是平面AEC的一个法向量.
又平面BAC的一个法向量为 ，
∴二面角B—AC—E的大小为
（III）∵AD//z轴，AD=2，∴ ，
∴点D到平面ACE的距离
21．本小题主要考查直线、椭圆及平面向量的基本知识，平面解析几何的基本方法和综合解题能力.满分14分.
（I）解法一：直线 ， ①
过原点垂直 的直线方程为 ， ②
解①②得
∵椭圆中心（0，0）关于直线 的对称点在椭圆C的右准线上，
∵直线 过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）.
故椭圆C的方程为 ③
解法二：直线 .
设原点关于直线 对称点为（p，q），则 解得p=3.
∵椭圆中心（0，0）关于直线 的对称点在椭圆C的右准线上，
∵直线 过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）.
故椭圆C的方程为 ③
（II）解法一：设M（ ），N（ ）.
当直线m不垂直 轴时，直线 代入③，整理得
点O到直线MN的距离
即
即
整理得
当直线m垂直x轴时，也满足 .
故直线m的方程为
或 或
经检验上述直线均满足 .
所以所求直线方程为 或 或
解法二：设M（ ），N（ ）.
当直线m不垂直 轴时，直线 代入③，整理得
∵E（－2，0）是椭圆C的左焦点，
∴|MN|=|ME|+|NE|
=
以下与解法一相同.
解法三：设M（ ），N（ ）.
设直线 ，代入③，整理得
即
∴ = ，整理得
解得 或
故直线m的方程为 或 或
经检验上述直线方程为
所以所求直线方程为 或 或
22．本小题主要考查数列、不等式等基础知识，考试逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.满分14分.
（I）解法一：
故a取数列{bn}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{an}
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