直方图均衡化的介绍
直方图均衡化是一种简单有效的图像增强技术,通过改变图像的直方图来改变图像中各像素的灰度,主要用于增强动态范围偏小的图像的对比度。原始图像由于其灰度分布可能集中在较窄的区间,造成图像不够清晰。例如,过曝光图像的灰度级集中在高亮度范围内,而曝光不足将使图像灰度级集中在低亮度范围内。采用直方图均衡化,可以把原始图像的直方图变换为均匀分布(均衡)的形式,这样就增加了像素之间灰度值差别的动态范围,从而达到增强图像整体对比度的效果。换言之,直方图均衡化的基本原理是:对在图像中像素个数多的灰度值(即对画面起主要作用的灰度值)进行展宽,而对像素个数少的灰度值(即对画面不起主要作用的灰度值)进行归并,从而增大对比度,使图像清晰,达到增强的目的。举个例子,如图1所示,左图为原始图像,右图为直方图均衡化后的图像。
直方图的概念
对一幅灰度图像,其直方图反映了该图像中不同灰度级出现的统计情况。图2给出了一个直方图的示例,其中图(a)是一幅图像,其灰度直方图可表示为图(b),其中横轴表示图像的各灰度级,纵轴表示图像中各灰度级像素的个数。(需要注意,灰度直方图表示了在图像中各个单独灰度级的分布,而图像对比度则取决于相邻近像素之间灰度级的关系。)
严格地说,图像的灰度直方图是一个一维的离散函数,可写成:
式中, 是图像 中灰度级为 的像素的个数。直方图的每一列(称为bin)的高度对应 。直方图提供了原图中各种灰度值分布的情况,也可以说直方图给出了一幅图像所有灰度值的整体描述。直方图的均值和方差也是图像灰度的均值和方差。图像的视觉效果与其直方图有对应关系,或者说,直方图的形状和改变对图像有很大的影响。
在直方图的基础上,进一步定义归一化的直方图为灰度级出现的相对频率 。即:
式中, 表示图像 的像素的总数, 是图像中灰度级为 的像素的个数。
直方图均衡化的理论基础
为讨论方便起见,以 r 和 s 分别表示归一化了的原图像灰度和经直方图均衡化后的图像灰度(因为归一化了,所以 r 和 s 的取值在0到1之间)。当 r = s = 0时,表示黑色;当 r = s = 1时,表示白色;当 r, s ∈(0, 1)时,表示像素灰度在黑白之间变化。(所谓直方图均衡化,其实是根据直方图对像素点的灰度值进行变换,属于点操作范围。换言之,即:已知r,求其对应的s。)
在 [0,1] 区间内的任何一个 r ,经变换函数 T(r) 都可以产生一个对应的 s ,且
式中,T(r) 应当满足以下两个条件:
在 0 ≤ r ≤ 1 内,T(r) 为单调递增函数;(此条件保证了均衡化后图像的灰度级从黑到白的次序不变)
在 0 ≤ r ≤ 1 内有 0 ≤ T(r) ≤ 1。(此条件保证了均衡化后图像的像素灰度值在允许的范围内)
公式3的逆变换关系为:
式中, 对 s 同样满足上述的两个条件。
由概率论可知,如果已知随机变量 r 的概率密度是 ,而随机变量 s 是 r 的函数,则 s 的概率密度 可以由 求出。假定随机变量 s 的分布函数用 表示,根据分布函数的定义有
又因为概率密度函数是分布函数的导数,因此上述公式两边对 s 求导可得:
从上述公式可以看出,通过变换函数 T(r) 可以控制图像灰度级的概率密度函数 ,从而改善图像的灰度层次,这就是直方图均衡化的理论基础。
又有:从人眼视觉特性来考虑,一幅图像的灰度直方图如果是均匀分布的,那么该图像看上去效果比较好(参考冈萨雷斯数字图像处理3.3节)。因此要做直方图均衡化,这里的 应当是均匀分布的概率密度函数。
由概率论知识可知,对于区间 [a,b]上的均匀分布,其概率密度函数等于 。 如果原图像没有进行归一化,即 , 那么 ,归一化之后 ,所以这里的 。
由概率密度公式可以知道 ,又因为 ,所以有 。对这个式子两边积分得:
上式就是我们所求的变换函数 。它表明当变换函数 是原图像直方图的累积分布概率时,能达到直方图均衡化的目的。
对于灰度级为离散的数字图像,用频率来代替概率,则变换函数 的离散形式可以表示为:
式中, (注:这里的 ,表示归一化后的灰度级;k表示归一化前的灰度级)。由上述公式可以知道,均衡化后各像素的灰度级 可直接由原图像的直方图算出来。需要说明的是,这里的 也是归一化后的灰度级,其值在 0 到 1 之间;有时需要将其乘以 再取整,使其灰度级范围在 0 到 L-1之间,与原图像一致。
直方图均衡化的缺点
如果一幅图像整体偏暗或者偏亮,那么直方图均衡化的方法很适用。但直方图均衡化是一种全局处理方式,它对处理的数据不加选择,可能会增加背景干扰信息的对比度并且降低有用信号的对比度(如果图像某些区域对比度很好,而另一些区域对比度不好,那采用直方图均衡化就不一定适用)。此外,均衡化后图像的灰度级减少,某些细节将会消失;某些图像(如直方图有高峰),经过均衡化后对比度不自然的过分增强。针对直方图均衡化的缺点,已经有局部的直方图均衡化方法出现。
摘自:
https://blog.csdn.net/qq_15971883/article/details/88699218