云南省2009年高中（中专）招生统一考试
数 学 试 题 卷
（全卷三个大题，共23个小题，共8页；满分120分，考试用时120分钟）
注意：
1．本卷为试题卷，考生解题作答必须在答题卷（答题卡）上，答案书写在答题卷（答题卡）相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效．
2．考试结束后，请将试题卷和答题卷（答题卡）一并交回．
一、选择题（本大题共7个小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，满分21分）
1．下列计算正确的是（ ）
A． B．（-2）3 = 8
C． D．
2．在函数 中，自变量 的取值范围是（ ）
A． x ≠ 3 B． x＞3
C． x＜3 D．
3．如图是一个由6个大小相同、棱长为1的小正方体搭成的几何体，关于它的下列说法中正确的是（ ）
A． 主视图的面积为6
B．左视图的面积为2
C．俯视图的面积为5
D．三种视图的面积都是5
4. 一元二次方程 的解是（ ）
A．x1 = 0 ，x2 = B． x1 = 0 ，x2 =
C．x1 = 0 ，x2 = D． x1= 0 ，x2 =
5．反比例函数 的图象位于（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
6．如图，A、D是⊙ 上的两个点，BC是直径，若∠D = 35°，则∠OAC的度数是（ ）
A．35°
B．55°
C．65°
D．70°
7．如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC = 5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（ ）
A．13 B．14
C．15 D．16
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分）
8． ________________．
9．一筐苹果总重 千克，筐本身重 千克，若将苹果平均分成 份，则每份重______千克.
10．如图，点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点，若AB＝10，AC＝6 ，
则CD＝_______________．
11．我省“阳光政府4项制度”（减负、低保、廉租房、促就业）的重点工作进展顺利，其中今年省级财政预算安排城乡医疗救助金 元，用于救助城乡困难群众．数字 用科学记数法可表示为¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬________________．
12．不等式组 的解集是 .
13．已知圆上一段弧长为6 ，它所对的圆心角为120°，则该圆的半径为___________．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE‖AC，DE交AB于点E ，M为BE的中点，连结DM. 在不添加任何辅助线和字母的情况下，图中的等腰三角形是 .（写出一个即可）
15．在平面直角坐标系中，已知3个点的坐标分别为 、 、 . 一只电子蛙位于坐标原点处，第1次电子蛙由原点跳到以 为对称中心的对称点 ，第2次电子蛙由 点跳到以 为对称中心的对称点 ，第3次电子蛙由 点跳到以 为对称中心的对称点 ，…，按此规律，电子蛙分别以 、 、 为对称中心继续跳下去．问当电子蛙跳了2009次后，电子蛙落点的坐标是 （_______ ，_______）.
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（本小题7分）解方程： ．
17．（本小题8分）如图，小芸在自家楼房的窗户A处，测量楼前的一棵树CD的高. 现测得树顶C处的俯角为45°，树底D处的俯角为60°，楼底到大树的距离BD为20米.请你帮助小芸计算树的高度（精确到0.1米）．
18．（本小题9分）如图，在△ABC和△DCB中，AB = DC，AC = DB，AC与DB交于点M．
（1）求证：△ABC≌△DCB ；
（2）过点C作CN‖BD，过点B作BN‖AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论．
19．（本小题9分）在“家电下乡”活动期间，凡购买指定家用电器的农村居民均可得到该商品售价13%的财政补贴.村民小李购买了一台A型洗衣机，小王购买了一台B型洗衣机，两人一共得到财政补贴351元，又知B型洗衣机售价比A型洗衣机售价多500元.求：（1）A型洗衣机和B型洗衣机的售价各是多少元？
（2）小李和小王购买洗衣机除财政补贴外实际各付款多少元？
20．（本小题9分）为迎接国庆60周年庆典，我省将举办以“红土地之歌”为主题的演讲比赛．某地区经过紧张的预赛，王锐、李红和张敏三人脱颖而出，他们的创作部分和演讲部分的成绩如下表所示，扇形统计图是当地的450名演讲爱好者对他们三人进行“我喜欢的选手”投票后的统计情况（没有弃权，并且每人只能推选1人）．
（1）请计算三位参赛选手的得票数各是多少？
（2）现要从王锐、李红和张敏三人中推选一人代表该地区参加全省的决赛，推选方案为：①演讲爱好者所投票，每票记1分；②将创作、演讲、得票三项所得分按 的比例确定个人成绩．请计算三位选手的平均成绩，从他们的平均成绩看，谁被推选参加全省的决赛？
王锐 李红 张敏
创作 95分 90分 88分
演讲 82分 85分 90分
21．（本小题8分）在一个不透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色的小球，它们除颜色外完全相同，其中红球有2个，黄球有1个，蓝球有1个. 现有一张电影票，小明和小亮决定通过摸球游戏定输赢（赢的一方得电影票）．游戏规则是：两人各摸1次球，先由小明从纸箱里随机摸出1个球，记录颜色后放回，将小球摇匀，再由小亮随机摸出1个球．若两人摸到的球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢．这个游戏规则对双方公平吗？请你利用树状图或列表法说明理由．
22．（本小题11分）如图，在平面直角坐标系中， 是坐标原点，点A、B的坐标分别为 和 ，连结 ．
（1）现将 绕点A按逆时针方向旋转90°得到 ，请画出 ，并直接写出点 、 的坐标（注：不要求证明）；
（2）求经过 、 、 三点的抛物线对应的函数关系式，并画出抛物线的略图．
23．（本小题14分）已知在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为 、 ，点D的坐标为 ，点P是直线AC上的一动点，直线DP与 轴交于点M．问：
（1）当点P运动到何位置时，直线DP平分矩形OABC的面积，请简要说明理由，并求出此时直线DP的函数解析式；
（2）当点P沿直线AC移动时，是否存在使 与 相似的点M，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、半径长为R（R＞0）画圆，所得到的圆称为动圆P．若设动圆P的直径长为AC，过点D作动圆P的两条切线，切点分别为点E、F．请探求是否存在四边形DEPF的最小面积S，若存在，请求出S的值；若不存在，请说明理由．
注：第（3）问请用备用图解答．
2009年云南省中考数学试题
参考答案
一、选择题（每小题3分，满分21分）
1．C 2．D 3．C 4．A 5．B 6．B 7． A
二、填空题（每小题3分，满分24分）
8．7 9． 10．2 11．6．96×107
12． 13．9 14．△MBD或△MDE或△EAD 15．（−2，2）
三、解答题
16．解：
∴ ． 6分
经检验， 是原方程的解． 7分
17．解：过点A作AE‖BD交DC的延长线于点E，
则∠AEC=∠BDC=90°．
∵ ， ，
∴ ． 3分
∵ ，
∴ ， 6分
（米）．
答：树高约为 米． 8分
18．证明：（1）如图，在△ABC和△DCB中，
∵AB= DC，AC=DB，BC=CB，
∴△ABC≌△DCB． 4分
（2）据已知有BN＝CN．证明如下：
∵CN‖BD，BN‖AC，
∴四边形BMCN是平行四边形． 6分
由（1）知，∠MBC=∠MCB，∴BM=CM，
∴四边形BMCN是菱形．∴BN=CN． 9分
19．解：（1）设A型洗衣机的售价为 元，B型洗衣机的售价为 元，
则据题意，可列方程组 4分
解得
∴A型洗衣机的售价为1100元，B型洗衣机的售价为1600元． 6分
（2）小李实际付款为： （元）；
小王实际付款为： （元）．
∴小李和小王购买洗衣机各实际付款957元和1392元． 9分
20．解：（1）由题意，王锐的得票数：30%×450=135 （张）
李红的得票数：36%×450=162 （张）
张敏的得票数：34%×450=153 （张） 3分
（2）王锐的平均得分： （分）
李红的平均得分： （分）
张敏的平均得分： （分）
∴ 张敏被推选参加全省决赛． 9分
21．解：
红 红 黄 蓝
红 （红，红） （红，红） （红，黄） （红，蓝）
红 （红，红） （红，红） （红，黄） （红，蓝）
黄 （黄，红） （黄，红） （黄，黄） （黄，蓝）
蓝 （蓝，红） （蓝，红） （蓝，黄） （蓝，蓝）
5分
由上述树状图或表格知：所有可能出现的结果共有16种．
P（小明赢）= ，P（小亮赢）= ．
∴此游戏对双方不公平，小亮赢的可能性大． 8分
（说明：答题时只需用树状图或列表法进行分析即可）
22．解：（1）如图，画出△AO1B1；
B1（4，2），O1（4，4）； 4分
（2）设所求抛物线对应的函数关系式为y=a（x-m）2+n，
由AO1‖x轴，得 m=2．
∴y=a（x-2）2+n．
∵抛物线经过点A、B，
∴ 解得
∴所求抛物线对应的函数关系式为 ，
即 ． 9分
所画抛物线图象如图所示． 11分
23．解：（1）连结 与 交于点 ，则当点 运动到点 时，直线 平分矩形 的面积．理由如下：
∵矩形是中心对称图形，且点 为矩形的对称中心．
又据经过中心对称图形对称中心的任一直线平分此中心对称图形的面积，因为直线 过矩形 的对称中心点 ，所以直线 平分矩形 的面积．…………2分
由已知可得此时点 的坐标为 ．
设直线 的函数解析式为 ．
则有 解得 ， ．
所以，直线 的函数解析式为： ． 5分
（2）存在点 使得 与 相似．
如图，不妨设直线 与 轴的正半轴交于点 ．
因为 ，若△DOM与△ABC相似，则有 或 ．
当 时，即 ，解得 ．所以点 满足条件．
当 时，即 ，解得 ．所以点 满足条件．
由对称性知，点 也满足条件．
综上所述，满足使 与 相似的点 有3个，分别为 、 、 ． 9分
（3）如图 ，过D作DP⊥AC于点P，以P为圆心，半径长为 画圆，过点D分别作 的切线DE、DF，点E、F是切点．除P点外在直线AC上任取一点P1，半径长为 画圆，过点D分别作 的切线DE1、DF1，点E1、F1是切点．
在△DEP和△DFP中，∠PED＝∠PFD，PF＝PE，PD＝PD，∴△DPE≌△DPF．
∴S四边形DEPF＝2S△DPE＝2× ．
∴当DE取最小值时，S四边形DEPF的值最小．
∵ ， ，
∴ ．
∵ ，∴ ．
∴ ．由 点的任意性知：DE是
点与切点所连线段长的最小值．……12分
在△ADP与△AOC中，∠DPA＝∠AOC，
∠DAP＝∠CAO， ∴△ADP∽△AOC．
∴ ，即 ．∴ ．
∴ ．
∴S四边形DEPF＝ ，即S＝ ． 14分
（注：本卷中所有题目，若由其它方法得出正确结论，请参照标准给分．）
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