如图，在三角形ABC中，AD平分角BAC，AD=AB,CM垂直于AD于点M.求证：AM=(AB+AC)/2.

Question

如题所述

Answer 1

延长AM到E，使ME等于AM，则CM垂直平分AE，
所以 △ACE是等腰三角形，
所以AC=CE，
所以 ∠CAD=∠E，
又因为AD平分∠BAC
所以∠BAD=∠CAD
所以 ∠E=∠BAD
所以 AB∥CE
所以 ∠B=∠ECD
又因为 AB=AD 所以 ∠B=∠ADB
因为 ∠ADB=∠CDE
所以 ∠CDE=∠ECD
所以 ED=EC=AC
且AB=AD
所以 AB+AC=AD+DE=2AM，即AM=1/2(AB+AC)
得证

Answer 2

延长DM于N，使DM=MN，连接CN
因为已知CM垂直AD
所以两个直角三角形MCD和MCN全等
所以∠CDM=∠CNM
因为已知AD平分∠BAC
所以∠BAD=∠CAD
又因为∠ADB=∠CDM
推出∠ADB=∠CNM
推出三角形ADB和ACN相似
所以AD:AB=AN:AC
因为已知AD=AB
所以有AC=AN
有AM-AB=AM-AD=DM(1)
AC-AM=AN-AM=MN(2)
由（1）（2），得
AM-AB=AC-AM
化简，得到AM=1/2(AB+AC)追问

能不用相似三角形吗？我还没学

追答

不可以，这道题超范围。