已知矩形ABCD中,AB为4cm,

如题所述

第1个回答  2014-01-24

已知,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂足为O.

(1)如图1,连接AF、CE.求证四边形AFCE为菱形,并求AF的长;
(2)如图2,动点P、Q分别从A、C两点同时出发,沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周.即点P自A→F→B→A停止,点Q自C→D→E→C停止.在运动过程中,
①已知点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒,当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t的值.
②若点P、Q的运动路程分别为a、b(单位:cm,ab≠0),已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形,求a与b满足的数量关系式.

解:(1)证明:①∵四边形ABCD是矩形,

∴AD∥BC,∴∠CAD=∠ACB,∠AEF=∠CFE,

∵EF垂直平分AC,垂足为O,∴OA=OC,

∴△AOE≌△COF,∴OE=OF,∴四边形AFCE为平行四边形,

又∵EF⊥AC,∴四边形AFCE为菱形,

②设菱形的边长AF=CF=xcm,则BF=(8-x)cm,

在Rt△ABF中,AB=4cm,由勾股定理得42+(8-x)2=x2,解得x=5,

∴AF=5cm.

(2)①显然当P点在AF上时,Q点在CD上,此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形;

同理P点在AB上时,Q点在DE或CE上,也不能构成平行四边形.

因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时,才能构成平行四边形,

∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,PC=QA,

∵点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒,

∴PC=5t,QA=12-4t,

∴5t=12-4t,解得t=4/3,

∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,t=4/3秒.

②由题意得,以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,点P、Q在互相平行的对应边上.分三种情况:

i)当P点在AF上、Q点在CE上时,AP=CQ,即a=12-b,得a+b=12;

ii)当P点在BF上、Q点在DE上时,AQ=CP,即12-b=a,得a+b=12;

iii)当P点在AB上、Q点在CD上时,AP=CQ,即12-a=b,得a+b=12.

综上所述,a与b满足的数量关系式是a+b=12(ab≠0).