圆的直径式方程公式推导过程

Question

如题所述

Answer 1

圆的直径式方程公式推导过程如下：

圆的直径式方程，若圆直径两端点为a(a，b)，b(c，d)，则圆方程为（x-a)(x-c)+（y-b)(y-d)=0这可以用向量证明。假设p(x，y)是圆上一点，那么向量[(x-a)，(y-b)]表示a到p的向量，[(x-c)，(y-d)]表示b到p的向量。

因为ab是直径，所以对于圆上的任意非a，b点，∠apb=90°所以有两向量内积为0，即(x-a)(x-c)+（y-b)(y-d)=0当p为a或b点时，有两向量之一为0向量，因为0向量与任意向量垂直，所以上式仍成立，所以所有的圆上的点都在(x-a)(x-c)+（y-b)(y-d)=0内。

又因为由平面几何知识知道所有满足向量[(x-a)，(y-b)]垂直向量[(x-c)，(y-d)]的点都在圆上，所以(x-a)(x-c)+（y-b)(y-d)=0就是该圆的方程。

圆的直径式方程在解题中的作用：

以圆的直径为斜边作直角三角形,则另一点永远在圆上.将三角形的两条直角边的向量用坐标的形式表示,便可以通过两向量坐标垂直的性质推导出圆的直径式方程:(x-x,)(x-xz)+(y-y)(y-yz)=0尽管圆的直径式方程不是高考的重要考查内容。

如果题目中含有和圆的直径相关的题目,就可以借助圆的直径式方程进行解答,这样可以有效降低学生的解题难度,所以我们需要提高对这一方程的关注.此外,掌握圆的直径式方程的解法可以让学生在高考中多一种选择,那运用一种解题方法解题,并通过其他方法进行题目的验算,这可以切实提升学生的答题准确度。