导数和极限区别是什么呢？

Question

如题所述

Answer 1

有区别，列举如下：

1、定义不同

导数：当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'（x0）或df（x0）/dx。

极限：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程。

此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。

2、本质不同

一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。

极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。

3、起源不同

导数：大约在1629年，法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法；1637年左右，他写一篇手稿《求最大值与最小值的方法》。在作切线时，他构造了差分f（A+E）-f（A），发现的因子E就是导数f'（A）。

极限：古希腊人的穷竭法蕴含了极限思想，但由于希腊人“对’无限‘的恐惧”，他们避免明显地人为“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。

到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中，改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。如此他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。

4、几何意义不同

如上图所示，导数在图中的直观表现是点P处的直线斜率。

极限的直观表示就是函数图像无限趋近于某一常数但始终达不到，如y=a^x的图像。

参考资料来源：百度百科-导数

参考资料来源：百度百科-极限

Answer 2

我们来看看导数。导数，简单来说，就是函数在某一点的切线斜率。它是描述函数变化速度的重要工具，是我们理解函数动态特性的关键。导数的存在，使得我们可以量化地描述函数的变化趋势，从而更好地理解和预测现象的发展。例如，物理学中的加速度、经济学中的边际效应等，都是通过导数来描述的。
然后，我们再来看看极限。极限，是微积分的另一个重要概念，它描述的是函数在某一点或者无穷远处的趋势。如果说导数是描述函数在某一点的瞬时变化，那么极限则是描述函数在某一区域的长期变化。极限的存在，使得我们可以处理那些无法直接求解的问题，例如无穷小、无穷大等。
那么，导数和极限的区别是什么呢？简单来说，导数关注的是函数的变化速度，而极限关注的是函数的变化趋势。导数告诉我们函数在某一点的变化有多快，而极限告诉我们函数在某一区域的变化趋势是什么。它们是两个不同的视角，但又是相互补充的。没有导数，我们无法理解函数的动态特性；没有极限，我们无法处理那些无法直接求解的问题。
然而，尽管导数和极限有其各自的特点和功能，但它们之间却有着紧密的联系。事实上，导数的定义就是通过极限来完成的。当我们说一个函数在某一点的导数是多少时，实际上就是在说这个函数在该点的切线斜率是多少，而这是通过求该点附近的两个点的差商的极限得到的。因此，我们可以说，导数是极限的一种特殊情况。
总的来说，导数和极限是微积分的两个重要概念，它们各自有其独特的功能和价值，但又相互关联，共同构成了微积分的基础。理解导数和极限的区别，不仅可以帮助我们更好地理解和掌握微积分，也可以让我们更深入地理解数学的本质和魅力。本回答被网友采纳