如图所示，把正方体用两个与它的底面平行的平面切开，分成三个长方体．这三个长方体的表面积比是3：4：5

Question

如图所示，把正方体用两个与它的底面平行的平面切开，分成三个长方体．这三个长方体的表面积比是3：4：5时．用最简单的整数比表示这三个长方体的体积比是多少？

Answer 1

设正方体的棱长为a，三个长方体的高分别为h1，h2，h3，则h1+h2+h3=a．由题意可得：
2（ah1+ah1+aa）：2（ah2+ah2+aa）：2（ah3+ah3+aa）=3：4：5，则进行整合得出：（2h1+a）：（2h2+a）：（2h3+a）=3：4：5，
（ah1+ah1+aa）：（ah2+ah2+aa）：（ah3+ah3+aa）=3：4：5，
a（2h1+a）：a（2h2+a）：a（2h3+a）=3：4：5，
则：2h1+a：2h2+a：2h3+a=3：4：5，
假设2h1+a=3，则：2h2+a=4，2h3+a=5，
即：h1=

3?a

2

，h2=

4?a

2

，h3=

5?a

2

，因为h1+h2+h3=a，所以：

3?a

2

+

4?a

2

+

5?a

2

=a，则：a=2.4，
则h1=0.3，h2=0.8，h3=1.3，
高的比为：0.3：0.8：1.3=3：8：13，因为底面积相等，高的比即体积的比，所以体积的比是：3：8：13；
答：这三个长方体的体积比是3：8：13．