求矩阵的行列式的值，有哪几种方法？

Question

如题所述

Answer 1

下面写出计算|kE-A|的几种套路，供参考。具体过程略。请谅。

方法A1：利用对角线法则或按行列展开是最基本的；
方法A2：设法进行初等变换使之能提取公因式，这种方法不一定牢靠，因为有些行列式不一定能分解，但一般出题时是不会出这么难的，会给你分解因式的机会的，可以试一试；
方法A3：
如果A是3阶矩阵, |λE-A|=λλλ-tr(A)λλ+tr(A*)λ-det(A).
其中：
tr(A)=一阶主子式之和，即主对角线元素之和，称为矩阵的迹。
tr(A*)=二阶主子行列式之和，对于三阶矩阵，同时也是主对角线元素的余子式之和，也等于A的伴随阵的行列式。A*表示A的伴随阵。det(A)即|A|，对于n阶矩阵，|A|就是唯一的一个n阶主子式。
主子式：取对称位置的元素(当然也包括对角线上的)所构成的(方阵的)行列式。
或者说，对角线是原方阵的对角线元素的子集的(方阵的)行列式。
推广到n阶方阵：|λE-A|=λ^n+(-1)^k*(A的所有k阶主子式之和)*λ^(n-k).
例如：
如果A是1阶矩阵(a), |λE-A|=λ-a, 易见特征值就是a.
如果A是2阶矩阵, |λE-A|=λλ-tr(A)λ+det(A).
如果A是4阶矩阵, |λE-A|=λλλλ-tr(A)λλλ+cλλ-tr(A*)λ+det(A),
其中c是所有二阶主子式之各，另外有c = ((tr(A))^2-tr(AA))/2.

计算特征值备用：
注意|kE-A|=(-1)^3*|A-kE|，|kE-A|=0<=>|A-kE|=0;
还可以取s=-k,先解出|A+sE|=0，再取-s为特征值。这当然只是细节。