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⊙O是△ABC的外接圆,AB是直径,过点C的切线与AB的延长线相交于点D,AE⊥DC交DC于点E.(1)求证:AC是∠
⊙O是△ABC的外接圆,AB是直径,过点C的切线与AB的延长线相交于点D,AE⊥DC交DC于点E.(1)求证:AC是∠EAB的平分线;(2)若圆的半径为3,BD=2,DC=4,求AE和BC.
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推荐答案 推荐于2016-03-09
(1)证明:连接OC,
∵ED为圆O的切线,
∴OC⊥ED,
又AE⊥ED,
∴OC∥EA,
∴∠EAC=∠ACO,
又OA=OC,∴∠OAC=∠ACO,
∴∠EAC=∠OAC,即AC是∠EAB的平分线;
(2)解:∵OC∥AE,
∴∠OCD=∠E,∠COD=∠EAD,
∴△OCD∽△DEA,
∴
OC
AE
=
OD
AD
,即
3
AE
=
5
8
,
解得:AE=
24
5
,
∵CD=4,BD=2,AD=8,
即CD
2
=BD?AD,且夹角∠D为公共角,
∴△BCD∽△ACD,且相似比=
4
8
=
1
2
,
∴
BC
AC
=
1
2
,即AC=2BC,
∵AB为圆O的直径,∴∠ACB=90°,
在Rt△ABC中,根据勾股定理得:AC
2
+BC
2
=AB
2
,
即4BC
2
+BC
2
=36,解得:BC=
6
5
5
.
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