我是这样理解的（如有不对，欢迎指正）
①have no choice but to do。此时，but作为介词，意为“除了……以外；只有”，相当于介词except（区别在于，except一般直接跟动词不定式。而but要看具体情况，即“有do无to；无do有to”）。因为but前面没有do或do的其他形式，所以这里是but to do而不是but do。
②can't choose but do。这里的话，我感觉but是个连词，不是介词了，所以不用“有do无to;无do有to”来确定but后面的动词形式。关于这个do，我是看can't没用过去形式couldn't，所以理解为一般现在时，加上后面的do是个独立的谓语动词（是谓语动词不是不定式。而且它的动词形式跟can't没关系，can't负责确定时态），所以这里是do（而不是did，be doing，to do等）。还有一种解释，你可以点开链接看看（应该是第4点）
https://rs.mbd.baidu.com/r/6i0Fnvk1Gw?f=cp&u=5bad68aad356781e认同我答案的朋友，欢迎点赞支持；
不认同的朋友，欢迎留言指正。