如何求对坐标的曲线积分？

Question

如题所述

Answer 1

要计算对坐标的曲线积分，可以使用线积分的定义：
∮L (2x+y)dx + (x+2y)dy
其中L是由x/3 + y/4 = 1确定的曲线。
首先，我们需要找到参数方程来表示曲线L。我们可以通过解这个方程来找到它：
x/3 + y/4 = 1
将它改写为：
x = 3t
y = 4(1 - t)
现在，我们有参数方程x(t)和y(t)。接下来，我们需要计算dx和dy：
dx = 3dt
dy = -4dt
现在，我们可以将这些代入线积分的定义：
∮L (2x+y)dx + (x+2y)dy
= ∫(from t=a to t=b) [(2(3t) + 4(1 - t)) * 3dt + (3t + 2(4(1 - t))) * (-4dt)]
= ∫(from t=a to t=b) [(6t + 4 - 4t) * 3dt + (3t + 8 - 8t) * (-4dt)]
= ∫(from t=a to t=b) [(2t + 4) * 3dt + (-5t + 8) * (-4dt)]
= ∫(from t=a to t=b) (6t + 12 + 20t - 32) dt
现在，我们可以计算积分：
= ∫(from t=a to t=b) (26t - 20) dt
= [13t^2 - 20t] (from t=a to t=b)
现在，我们需要找到参数a和b的值，这些值分别对应于曲线L的起点和终点。根据参数方程x=3t和y=4(1-t)，我们可以得到：
当x=0时，t=0（起点）
当x=3时，t=1（终点）
现在，我们可以计算积分的值：
= (13(1)^2 - 20(1)) - (13(0)^2 - 20(0))
= (13 - 20) - (0 - 0)
= -7 - 0
= -7
所以，对坐标的曲线积分∮L (2x+y)dx + (x+2y)dy等于-7。不等于0。