关于定积分求旋转体侧面积时的微元-ds

Question

如题所述

Answer 1

在讨论定积分求旋转体侧面积时，我们常常遇到微元选择的困惑。常规的教学往往直接跳过为何不能直接使用 dx。本文将尝试从个人理解出发，解析这一过程。

首先，理解dx、dy、∆x和∆y的关系至关重要，特别是它们与微分的联系。根据函数微分定义，我们有：

[公式1]
[公式2]

对于面积问题，我们通常用微小矩形近似，即dx×dy。然而，在求侧面积时，如圆台侧面积公式[公式3]，情况有所不同。

用ds作为积分微元时，我们实际上是在考虑的是弧微分，这同样是基于一个高阶无穷小的假设。例如，[公式4]与[公式5]之间的差别，虽然看似微小，但在高维定积分中，这种误差不能忽视，因为[公式6]并不是一个可以忽略的高阶无穷小。

总结来说，选择积分微元时，需要考虑其对最终结果产生的误差，尤其是在高精度的计算中，[公式3]与[公式5]的差异不能简单地视为高阶无穷小而被忽略。这提醒我们在定积分求解问题时，微元的选择和处理至关重要。