抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.(1)求此抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在点P

Question

抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.(1)求此抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在点P,使 ,若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

(1)y=-x 2 +2x+3；(2) P坐标为（ , ）、（ , ）；（ , ）； （ , ）．

试题分析：（1）设出抛物线的顶点形式为y=a（x-1） 2 +4，将A坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线解析式； （2）存在，设出P（a，-a 2 +2a+3），直线AB解析式为y=kx+b，将A与B坐标代入求出k与b的值，确定出直线AB解析式，根据三角形ABP面积为三角形ABC面积的一半，由两三角形都以AB为底边，得到C到直线AB的距离为P到直线AB距离的2倍，利用点到直线的距离公式列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可确定出满足题意P的坐标． 试题解析：（1）设抛物线的顶点形式为y=a（x-1） 2 +4， 将A（3，0）代入得：0=4a+4，即a=-1， 则抛物线解析式为y=-（x-1） 2 +4=-x 2 +2x+3； （2）存在这样的P点， 设P（a，-a 2 +2a+3）， 设直线AB解析式为y=kx+b， 将A（3，0），B（0，3）代入得： ， 解得： ， ∴直线AB解析式为y=-x+3， ∵S △ABP = S △ABC ，且两三角形都以AB为底边， ∴P到直线AB的距离等于C到直线AB距离的 ， ∵C（1，4）到直线AB的距离d= ， ∴P到直线AB的距离d= ， 即|-a 2 +3a|=1， 整理得：a 2 -3a-1=0或a 2 -3a+1=0， 解得：a= 或a= 当a= 时，-a 2 +2a+3=- ； 当a= 时，-a 2 +2a+3=- ； 当a= 时，-a 2 +2a+3=- ； 当a= 时，-a 2 +2a+3=- . 则满足题意的P坐标为（ , ）、（ , ）；（ , ）； （ , ）． 考点: 1.待定系数法求二次函数解析式；2.二次函数的性质．