分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF）是概率统计中重要的函数，正是通过它，可用数学分析的方法来研究随机变量。
F(x)为随机变量X的分布函数，其充分必要条件为：[1]
非降性
(1)F(x)是一个不减函数
对于任意实数
有界性
(2）
从几何上说明，将区间端点x沿数轴无限向左移动（即
)，则“随机点X落在点x左边”这一事件趋于不可能事件，从而其概率趋于0，即有
;又若将点x无限右移（即
)，则“随机点X落在点x左边”这一事件趋于必然事件，从而趋于概率1，即有
[2]
右连续性
(3)
;
证明：因为 F（x）是单调有界非减函数，所以其任一点x0的右极限F（x0+0）必存在。
为证明右连续，由海涅定理，只要对单调下降的数列
当
时,
证明
成立即可。 因为 ：
所以得，
[3]
应用判断是否是分布函数
（1）设有函数，试说明F(x)能否是某个随机变量的分布函数。
注意到函数F(x)在
上下降，
不满足性质(1)，故F(x)不能是分布函数.
（2）设柯西分布函数
它在整个数轴上是连续、单调严格递增的函数。且：
所以此函数满足分布函数的三条基本性质，故F（x）是随机变量X的一个分布函数。