求三角函数有理式积分。思路已给出，求详细过程。

Question

如题所述

Answer 1

解：d(asinx+bcosx)=(acosx-bsinx)dx;
令：a1sinx+b1cosx=A(asinx+bcosx)+B(acosx-bsinx)=(Aa-Bb)sinx.+(Ab+Ba)cosx...(1) ,等式两边对比，有：a1=(Aa-Bb)...(2), b1=Ab+Ba...(3);a1*a+b1*b=Aa^2+Ab^2=A(a^2+b^2);因为a^2+b^2≠0,方程两边同时除以（a^2+b^2),得：A=(aa1+bb1)/(a^2+b^2);
同理，b1*a-a1*b=B(a^2+b^2), B=(ab1-a1b)/(a^2+b^2);
则积分式变形为:[A(asinx+bcosx)+B(acosx-bsinx)]dx/(asinx+bcosx)=Adx+Bd(asinx+bcosx)
原式=Ax+Bln|asinx+bcosx|+C。解毕。

Answer 2

　　解：原式=∫(b1+a1tanx)dx/(b+atanx)。
　　令t=tanx，则dx=dt/(1+t^2)，
　　原式=∫(b1+a1t)dt/[(b+at)(1+t^2)。
　　再令(b1+a1t)/[(b+at)(1+t^2)=A/(b+at)+(Bt+C)/(1+t^2)，
　　∴原式=∫[A/(b+at)+(Bt+C)/(1+t^2)]dt=(A/a)ln丨b+at丨+(B/2)ln(1+t^2)+Carctant+c。其中，t=arctanx，A=a(ab1-a1b)/(a^2+b^2)、B=(a1b-ab1)/(a^2+b^2)、C=(b1b+a1a)//(a^2+b^2)。
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Answer 3