多元复合函数高阶偏导求法

Question

如题所述

Answer 1

多元复合函数高阶偏导求法如下：

一、多元复合函数偏导数

上面公式可以简单记为“连线相乘，分线相加”；也可以借助微分形式不变性，即函数有几个中间变量，则偏导有几部分组成（不排除个别部分为零）.

二、多元复合函数二阶偏导数

对于复合函数二阶偏导数，关键需要理解函数对中间变量的偏导数依然为多元复合函数，其关系与原来因变量与自变量关系完全一致，即：

先画出关系图：

解决多元复合抽象函数高阶偏导问题关键理清因变量与自变量关系，在解题过程中最后画出关系图，这样可以避免多写或漏写。

拓展资料：

偏导数的几何意义：

表示固定面上一点的切线斜率。

偏导数 f'x(x0,y0) 表示固定面上一点对 x 轴的切线斜率；偏导数 f'y(x0,y0) 表示固定面上一点对 y 轴的切线斜率。

高阶偏导数：如果二元函数 z=f(x,y) 的偏导数 f'x(x,y) 与 f'y(x,y) 仍然可导，那么这两个偏导函数的偏导数称为 z=f(x,y) 的二阶偏导数。二元函数的二阶偏导数有四个：f"xx，f"xy，f"yx，f"yy。

f"xy与f"yx的区别在于：前者是先对 x 求偏导，然后将所得的偏导函数再对 y 求偏导；后者是先对 y 求偏导再对 x 求偏导。当 f"xy 与 f"yx 都连续时，求导的结果与先后次序无关。

Answer 2

1、原则上来说，多元函数的求导方法，依然是运用链式求导法；

      链式求导 = Chain Rule

2、运用链式求导时，对一个变量求导，其余变量当成常数对待；

3、下面的图片，给楼主提供几个具体示例。

      每张图片均可点击放大。

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Answer 3

求复合函数的偏导数，关键在于找好路径。链式法则是一个很好的解决工具。

拓展资料：

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Answer 4

简单分析一下，答案如图所示

Answer 5

高等数学第七版P70页，例8

复合函数求导：δu/δx=(δu/δr)*(δr/δx)=-x/(r^3)
-x/(r^3) 关于x的偏导数：(δu/δx)^2=δ[-x/(r^3)]/δx=-{ [(x)'r^3-x*(r^3)']/(r^3)^2 }
=-{ [r^3-x*3r^2(r)']/(r^6) }
=-{ [r^3-x*3r^2(x/r)]/(r^6) }
=-{ [r^3-3x^2r]/(r^6) }
=-1/r^3+3x^2/r^5