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勾股定理与函数
勾股定理知识点：
1、勾股定理及逆定理：△ABC中 ∠C＝Rt∠a2＋b2=c2
2、勾股定理及逆定理的应用（1）作已知线段a的，， ……倍
（2）计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题 （3）证明线段的平方关系等。
3、勾股数的定义：如果三个正整数a,b,c满足等式a2＋b2=c2，那么这三个正整数a,b,c叫做一组勾股数.
4、勾股数的推算公式
（1）罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853）
任取两个正整数m和n(m>n),那么m2-n2，2mn, m2+n2是一组勾股数。
（2）如果k是大于1的奇数，那么k, ,是一组勾股数。
（3）如果k是大于2的偶数，那么k, ,是一组勾股数。
（4）如果a,b,c是勾股数，那么na, nb, nc (n是正整数)也是勾股数。
5、熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形。简单的勾股数有：3，4，5； 5，12，13； 7，
经典提高习题：
1．如图所示，在中,,且,
,求的长.
2．已知△ABC中，a2＋b2＋c2＝10a＋24b＋26c－338，试判定△ABC的形状，并说明你的理由．
3、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。
4 如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=4，将长方形沿AC折叠，点D落在点E处，则重叠部分△AFC的面积是 。
5 如图，圆柱的高为10 cm，底面半径为2 cm.，在下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处，需要爬行的最短路程是多少?
6 如图，长方体的高为3 cm，底面是边长为2 cm的正方形. 现有一小虫从顶点A出发，沿长方体侧面到达顶点C处，小虫走的路程最短为多少厘米?
答案AB=5
7、一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的B’点沿纸箱爬到D点，那么它所行的最短路线的长是_____________。
8如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．
9．图示是一种“羊头”形图案，其作法是，从正方形1开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形2，和2′，…，依次类推，若正方形7的边长为25px，则正方形1的边长为__________cm.
变式：如图，在直线上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，1.21，1.44，正放置的四个正方形的面积为S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4=（ ） A 3.65 B 2.42 C 2.44 D 2.65
10、已知数3、6，请再写出一个数，使这三个数中的一个数的平方是另外两个数的积，这个数是 ．
11、已知与互为相反数，则以为三边的三角形是 三角形。
12、已知：正方形ABCD的边长为1，正方形ABCD的边长为1，正方形EFGH内接于ABCD，AE=a,AF=b,且。求：的值。
13、已知直线与轴、轴分别相交与A、B两点，以线段AB为直角边在第一象限作等腰直角三角形ABC，且，点P（1，）为坐标系中的一个动点。
（1）求的大小。
（2）证明不论取任何实数，三角形BOP的面积是一个常数；
（3）要使与的面积相等，求实数的大小。
14、已知直线与轴、轴分别相交与A、B两点，
（1）求B、A两点的坐标。
（2）把以直线AB为轴翻折，点O落在点C上，以BC
为一边作等边，求D点坐标。
15、P是轴上的一个动点，是否存在平行于轴的直线使它与直线和直线分别交于点D、E（E在D的上方），且为等到腰直角三角形，若存在，求t的值和P点坐标；若不存在，请说明理由。
16、在直角坐标系中，轴上动点M（，0）到定点P（5，5）、Q（2，1）分别为MP和MQ，求使MP+MQ最小的M点坐标。
17、在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（15，6）
直线恰好将矩形OABC的面积平分，求的值。
18、直线与轴、轴分别相交与A、B两点，
若三角形OAB的周长为，求的值。
19、已知一次函数的图象与直线相交于A，且轴交于B（0，4），的面积为6，求这一次函数的表达式.
20、A、B位于轴上方、原点的两侧，点P（2，m）在第一象限，直线PA交轴于点C（0，2），直线PB交轴于点D，=6
（1）求的大小。
（2）求点A的坐标和m的值。
（3），求BD的表达式
21、如图已庆A（1，3），B（3，1）两点P、Q分别是x轴、y轴上的两个动点，
（1） 当PA+PQ最小时，求P点坐标；、
（2） 当四边形周长最小时，求P点坐标。
22、已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，在第一象限作等边三角形ABC，求C两点的坐标
23.已知：M是△ABC内的一点，MD⊥BC，ME⊥AC，MF⊥AB，且BD＝BF，CD＝CE 求证：AE＝AF
24.在△ABC中，∠C是钝角，a2-b2=bc 求证∠A＝2∠B
25.已知△ABC中，∠A＝Rt∠，M是BC的中点，E，F分别在AB，AC，ME⊥MF
求证：EF2＝BE2＋CF2
26.Rt△ABC中，∠ABC＝90，∠C＝60，BC＝2，D是AC的中点，从D作DE⊥AC与CB的延长线交于点E，以AB、BE为邻边作矩形ABEF，连结DF，则DF的长是＿＿＿＿。（2002年希望杯数学邀请赛，初二试题）
27.△ABC中，AB＝AC＝2，BC边上有100个不同的点p1，p2，p3，…p100,
记mi=APi2+BPi×PiC (I=1,2……，100)，则m1+m2+…＋m100=____
(1990年全国初中数学联赛题)
28、若△ABC的三边长为a、b、c，根据下列条件判断△ABC的形状。
（1）a2+b2+c2+200=12a+16b+20c
(2) a3－a2b+ab2－ac2+bc2－b3=0
29．如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求CD的长．
30．已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积．
31．已知：如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为CB的四等分点且求证：AF⊥FE．追问
勾股定理与函数
勾股定理知识点：
1、勾股定理及逆定理：△ABC中 ∠C＝Rt∠a2＋b2=c2
2、勾股定理及逆定理的应用（1）作已知线段a的，， ……倍
（2）计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题 （3）证明线段的平方关系等。
3、勾股数的定义：如果三个正整数a,b,c满足等式a2＋b2=c2，那么这三个正整数a,b,c叫做一组勾股数.
4、勾股数的推算公式
（1）罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853）
任取两个正整数m和n(m>n),那么m2-n2，2mn, m2+n2是一组勾股数。
（2）如果k是大于1的奇数，那么k, ,是一组勾股数。
（3）如果k是大于2的偶数，那么k, ,是一组勾股数。
（4）如果a,b,c是勾股数，那么na, nb, nc (n是正整数)也是勾股数。
5、熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形。简单的勾股数有：3，4，5； 5，12，13； 7，
经典提高习题：
1．如图所示，在中,,且,
,求的长.
2．已知△ABC中，a2＋b2＋c2＝10a＋24b＋26c－338，试判定△ABC的形状，并说明你的理由．
3、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。
4 如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=4，将长方形沿AC折叠，点D落在点E处，则重叠部分△AFC的面积是 。
5 如图，圆柱的高为10 cm，底面半径为2 cm.，在下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处，需要爬行的最短路程是多少?
6 如图，长方体的高为3 cm，底面是边长为2 cm的正方形. 现有一小虫从顶点A出发，沿长方体侧面到达顶点C处，小虫走的路程最短为多少厘米?
答案AB=5
7、一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的B’点沿纸箱爬到D点，那么它所行的最短路线的长是_____________。
8如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．
9．图示是一种“羊头”形图案，其作法是，从正方形1开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形2，和2′，…，依次类推，若正方形7的边长为25px，则正方形1的边长为__________cm.
变式：如图，在直线上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，1.21，1.44，正放置的四个正方形的面积为S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4=（ ） A 3.65 B 2.42 C 2.44 D 2.65
10、已知数3、6，请再写出一个数，使这三个数中的一个数的平方是另外两个数的积，这个数是 ．
11、已知与互为相反数，则以为三边的三角形是 三角形。
12、已知：正方形ABCD的边长为1，正方形ABCD的边长为1，正方形EFGH内接于ABCD，AE=a,AF=b,且。求：的值。
13、已知直线与轴、轴分别相交与A、B两点，以线段AB为直角边在第一象限作等腰直角三角形ABC，且，点P（1，）为坐标系中的一个动点。
（1）求的大小。
（2）证明不论取任何实数，三角形BOP的面积是一个常数；
（3）要使与的面积相等，求实数的大小。
14、已知直线与轴、轴分别相交与A、B两点，
（1）求B、A两点的坐标。
（2）把以直线AB为轴翻折，点O落在点C上，以BC
为一边作等边，求D点坐标。
15、P是轴上的一个动点，是否存在平行于轴的直线使它与直线和直线分别交于点D、E（E在D的上方），且为等到腰直角三角形，若存在，求t的值和P点坐标；若不存在，请说明理由。
16、在直角坐标系中，轴上动点M（，0）到定点P（5，5）、Q（2，1）分别为MP和MQ，求使MP+MQ最小的M点坐标。
17、在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（15，6）
直线恰好将矩形OABC的面积平分，求的值。
18、直线与轴、轴分别相交与A、B两点，
若三角形OAB的周长为，求的值。
19、已知一次函数的图象与直线相交于A，且轴交于B（0，4），的面积为6，求这一次函数的表达式.
20、A、B位于轴上方、原点的两侧，点P（2，m）在第一象限，直线PA交轴于点C（0，2），直线PB交轴于点D，=6
（1）求的大小。
（2）求点A的坐标和m的值。
（3），求BD的表达式
21、如图已庆A（1，3），B（3，1）两点P、Q分别是x轴、y轴上的两个动点，
（1） 当PA+PQ最小时，求P点坐标；、
（2） 当四边形周长最小时，求P点坐标。
22、已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，在第一象限作等边三角形ABC，求C两点的坐标
23.已知：M是△ABC内的一点，MD⊥BC，ME⊥AC，MF⊥AB，且BD＝BF，CD＝CE 求证：AE＝AF
24.在△ABC中，∠C是钝角，a2-b2=bc 求证∠A＝2∠B
25.已知△ABC中，∠A＝Rt∠，M是BC的中点，E，F分别在AB，AC，ME⊥MF
求证：EF2＝BE2＋CF2
26.Rt△ABC中，∠ABC＝90，∠C＝60，BC＝2，D是AC的中点，从D作DE⊥AC与CB的延长线交于点E，以AB、BE为邻边作矩形ABEF，连结DF，则DF的长是＿＿＿＿。（2002年希望杯数学邀请赛，初二试题）
27.△ABC中，AB＝AC＝2，BC边上有100个不同的点p1，p2，p3，…p100,
记mi=APi2+BPi×PiC (I=1,2……，100)，则m1+m2+…＋m100=____
(1990年全国初中数学联赛题)
28、若△ABC的三边长为a、b、c，根据下列条件判断△ABC的形状。
（1）a2+b2+c2+200=12a+16b+20c
(2) a3－a2b+ab2－ac2+bc2－b3=0
29．如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求CD的长．
30．已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积．
31．已知：如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为CB的四等分点且求证：AF⊥FE．追问
对勾函数。。。不是勾股定理😓
追答三角函数是吧，发链接给你了；你自己去认真看看吧。
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