cauchy-schwarz不等式:等号在且仅在ad-bc=0即ad=bc时成立。
柯西施瓦茨不等式:ai、bi为任意实数(i=1,2...n),则(a1^2+a2^2+.+an^2)(b1^2+b2^2+.+bn^2)>=(a1b1+a2b2+.+anbn)^2.可以构造二次函数,借助判别式来证明。
柯西-施瓦茨不等式是一个在众多背景下都有应用的不等式,例如线性代数,数学分析,概率论,向量代数以及其他许多领域。
cauchy-schwarz不等式用向量来证:
m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn),mn=a1b1+a2b2+......+anbn(a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+......+bn^2)^(1/2)乘以cosX。
因为cosX小于等于1,所以:a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+.....+bn^2)^(1/2)。