一组随机发生的数字,各个数字的首位存在一定规律,越小的数字出现的比率越高,既0出现的概率是100%(实际上首位不可能是0,因此我们可以认为其出现的概率是100%),1出现的概率是31%,2出现的概率是18%,依次类推,9出现的概率只有不到5%。
其实,本福德定律也服从大数法则和中心极限定理,但是其证明比较复杂,这里不赘述。下图是美国物理学家 T. P. Hill 于1998年7-8月试验本福德定律的概率图:
本福德定律的应用条件是:
(1)数据不能是规律排序的,比如发票编号、身份证号码等;
(2)数据不能经过人为修饰。
一组平均增长的数据开始时,增长得较慢,由最初的数字a增长到另一个数字a + 1起首的数的时间,必然比a + 1起首的数增长到a + 2,需要更多时间,所以出现率就更高了。
从数数目来说,顺序从1开始数,1,2,3,...,9,从这点终结的话,所有数起首的机会似乎相同,但9之后的两位数10至19,以1起首的数又大大抛离了其他数了。而下一堆9起首的数出现之前,必然会经过一堆以2,3,4,...,8起首的数。若果这样数法有个终结点,以1起首的数的出现率一般都比9大。
这个定律的严格证明,可以参见Hill, T. P. "A Statistical Derivation of the Significant-Digit Law." Stat. Sci. 10, 354-363, 1996.
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