当道路运输经营许可证不慎遗失，可以通过特定程序进行补办。首先，需在原发证机关所在地的官方媒体上发布遗失声明，并携带相关证明材料前往原发证机关。申请时，须提交补办申请和注销原有许可证的请求。原发证机关会正式注销丢失的许可证号码，并为申请人分配新的编号。根据《道路运输从业人员管理规定》<!--第三十一条的要求，交通运输主管部门和道路运输管理机构有责任处理符合条件的从业资格证件的换发、补发和变更申请。
值得注意的是，如果申请人曾违反从业资格管理规定但尚未接受相应的处罚，受理机关会遵循规定，在申请人接受处罚之后，才会进行证件的换发、补发或变更。在整个过程中，申请人必须严格遵守相关法律法规，以确保流程的合法性和有效性。