摘要
居家自主实验是疫情期间大学开展线上实验教学新的尝试和探索，眼镜度数测量及镜片面型判别是众多创新实验中的一个典型案例。眼镜度数一般是通过专业仪器测量，论文通过分析透射过眼镜的激
光点位置会随眼镜的平移而移动这个现象，提出用激光笔和直尺来测量眼镜度数的居家简便测量方案。分析了激光
入射角偏转对测量精度的影响并改进了实验方法，同时给出了镜片面型判别的方法。此外本文还采用Tracker视频分析软件来进一步提高测量精度，实现了居家条件下便捷准确测量眼镜度数和镜片面型的判定。
AbstractHome-based experiment is one of the latest explorations of teaching online during quarantine. The experiment of measuring the degree of glasses and determining lens type by tools available at home is one of the typical examples of this innovation. The degree of glasses is traditionally measured by professional instruments. By analyzing the point position of laser which moves with the movement of the glasses when laser passes through the glasses, an simple and convenient home-based experimental method of measuring the degree of glasses with a laser pen and ruler is proposed. The influence of the laser incidence angle deflection on the measurement accuracy is analyzed, and the experimental method is improved. At the same time, a method of judging the lens type is given. In addition, Tracker, a video analysis software is used to further improve accuracy. Thus, the goal of measuring the degree of glasses and judging lens type conveniently and accurately under home condition is achieved.
在
新冠肺炎疫情期间居家自主实验由于不受空间与时间限制，同时实验过程中对
创新能力提升效果突出，成为线上实验教学的一大亮点。线上居家自主实验教学中涌现出众多的创新实验方案，眼镜度数简便测量便是其中的一例典型案例。
眼镜度数的测量是在生活中观察到当激光笔照射在眼镜上，移动眼镜时发现透过镜片落在墙面上的光点位置发生了明显的移动。这是由于眼镜的镜片为透镜，当激光照射在镜片上时光线发生偏折，镜片不同位置对
光的折射不同，因此移动眼镜时就会观察到光点的移动。对于不同度数、不同类型的眼镜，其光点移动规律不同。这一现象引发了我们的研究兴趣。
眼镜度数是由镜片的焦距确定。
近视眼镜的镜片为薄
凹透镜，其焦距的测量方法有物距像距法[1,2]、自准直法[3,4]、共轭法[5]，采用这些方法来测量都需要有专门的仪器和实验平台才能实现。在医院或眼镜店一般采用专业的焦度计进行眼镜度数测量。如何利用简单的工具在家完成相关测量呢？深入分析光学原理后，设计出采用激光笔和尺子进行眼镜度数的测量方案，实现了居家实验的设计与测量。
眼镜常分普通球面眼镜和非球面眼镜，非球面眼镜镜片的表面弧度与普通球面镜片不同，从镜片中心到周边，
曲率半径会渐近变化，目的是为了减少光学矫正镜片的
象差使镜片更平，从而获得更清晰，更薄，更轻的镜片[6，7]。非球面眼镜由于加工复杂，价格高，不良商家往往鱼目混珠，以次充好。而本文通过对镜片度数变化的测量分析，可以实现了非球面眼镜的快速辨别。
1 测量原理
激光笔中产生的激光经扩束镜和
会聚透镜后，出射光束为近平行光，这样可把激光笔射出的激光简化为一条光线。下面以近视眼镜镜片（凹透镜）为研究对象，推导“平移眼镜”和“平移激光笔”时的眼镜度数测量公式。
1.1平移眼镜时眼镜度数公式推导
由几何光学成像原理[8]可知，平行于凹透镜主
光轴的光线通过凹透镜后发散，发散光线的反向延长线相交于焦平面上。
如图1所示，当由激光笔投射出一束激光由B点平行于光轴从眼镜某侧镜片入射时，光点投射在屏幕的A点（其中F为镜片的焦点），向下平移眼镜激光照射在镜片的另一侧，投射在屏幕的A1点，由△FF1O与△OAA1相似可得如下关系式。
式中，H为眼镜到屏幕的距离，L1为眼镜移动距离，L为屏幕上激光点移动距离AA1，f为眼镜镜片的焦距。
1.2 平移激光笔时公式推导
如图2所示，当由激光笔投射出一束激光由B点平行于光轴从眼镜某侧镜片入射时，光点投射在屏幕的A点，平移激光笔激光将照射在另一侧，投射在屏幕的A1点，由相似关系可得眼镜镜片焦距的大小。
由上述光路原理可看出，当眼镜到屏幕的距离一定，眼镜与激光笔相对平移距离相等时，平移激光笔时激光光点移动距离更大，相当于激光光点多移动了激光笔移动的距离。
图2 平移激光笔时光路示意图
2 简易测量方案及误差分析
2.1 简易测量方案
由平移眼镜时和平移激光笔时推导出的眼镜度数公式可得出，测量出眼镜到屏幕的距离H、眼镜移动距离（或激光笔移动距离）L1、屏幕上激光点移动距离L，就能计算出眼镜的度数。因此,我们设计了用1支激光笔和1把
卷尺（或直尺）实现测量眼镜度数的简易方案，如图3所示：将激光笔和卷尺放置在一个平整的桌上，被测眼镜放置在它们中间。从眼镜镜片的一侧平移眼镜或激光笔到另一侧，读取卷尺上的前后两次光斑刻度，眼镜移动距离（或激光笔移动距离） 和眼镜镜片的边沿宽度，即可由公式（1）或公式（2）计算出眼镜的度数。实验中被测红色边框眼镜（图3）左眼镜片度数为150度，左眼镜片度数为200度。
图3 简易测量工具
2.2简易测量方法实验数据处理
当平移眼镜时，平移距离L1为46.0mm时测得激光点移动距离L为30.3mm。当平移激光笔时，平移距离L1为46.0mm时测得激光点移动距离L为80.5mm。测得眼镜到屏距离H为461.0mm。
平移眼镜时，由式（1），可算出眼镜左侧镜片的度数为
2.3 简易测量方法的误差分析
由实验可看出，两种方案测量误差都偏大，特别是平移激光笔时测量误差较大，分析可能造成较大误差的原因如下：
1） 手持着激光笔晃动，引起读数不准；
2） 激光光点较粗，
光强较大，读数存在一定误差；
3） 移动激光笔时难以保持前后两束光线平行光轴；
4） 平移眼镜时，虽能确保前后两束光平行，但仍无法保证眼镜严格平行移动；
5） 平移眼镜或激光笔时，如果光束与镜面主光轴不平行也会引起误差；
6） 如果镜片安装不对称，测量时光束与镜面光轴成一定角度引起误差。
这里1~4项为
随机误差，可以通过实验的巧妙设计及多次测量来减小；5、6项为
系统误差，均是由于光束与镜面主光轴不平行引起的误差，对于第5项可以通过计算加以修正，第6项与眼镜片的安装有关，需要具体分析，两者误差的计算方法是类似的。第5项系统误差的简要分析如下：
假设两束平行光斜向入射镜片（即入射光与主光轴存在一个很小的角度），图4给出了平行光束斜入射光路示意图。
由图4可以看出，两平行光束斜向入射交于焦平面于c、d两点，交眼镜镜片于a、b两点，投射于屏幕A、A1点。Aa与A1b两线反向延长线交于焦平面上一点。
由此可得出，当两束平行光斜向入射时，需将L1修正为L′1，导致L′1实验值偏小，进而使测量结果偏大，当入射角较小时，L1≈L′1对测量精度影响较小。
3 测量方案改进及分析
3.1 测量方案
针对上述简易方案存在的不足，我们将实验方案进行了改进，测试方法如图5所示。将两直尺用双面胶带平行固定粘于桌面，激光笔垂直底边粘于三角板上，卷尺放置于桌面的左侧，中间的直尺用于固定眼镜平行放置的位置，右侧直尺用来保证三角板的平行移动。这种设计不仅便于读数，而且能够保证激光笔平行移动，使移动前后两束光线平行。
图5 改进方案所用器材及测试光路
由于“平移眼镜”时眼镜的移动距离不便于测量，后续实验我们均采用平移激光笔进行实验。
具体测量步骤如下：
1） 量取左侧直尺右边沿到卷尺的距离H，并紧靠左侧直尺右边沿放置被测眼镜；
2） 打开激光笔，平移三角板到镜片的一侧，记录三角架零刻度在直尺上的刻度a1，并记录激光点在卷尺上的刻度b1；
3） 平移三角板到镜片的另一侧，记录三角架零刻度在直尺上的刻度a2，并记录激光点在卷尺上的刻度b2；
4） 计算激光笔移动距离L1=|a1－a2| （移动距离可取定值），卷尺上激光点移动距离L=|b1－b2|，由式（2）计算眼镜的度数。
3.2 测量眼镜度数
采用改进后的测量方案，对被测红色边框眼镜进行了多次测量。测量结果如表1所示。
综合考虑测量数据H、L、L1对测量结果的影响，根据误差与数据处理的理论计算[10]可算出眼镜左侧、右侧镜片的度数分别为154±3度和196±4度，相对不确定度分别为1.9%和2.0%，与眼镜店给出的标准值（150度、200度）的
相对误差分别为2.7%和2.0%。
此外，还对另外两副眼镜的度数进行了测量，一副为黑色边框眼镜（左眼200度，右眼150度），另一副为橘色边框眼镜（左眼150度，右眼100度）在测量黑色边框眼镜时，发现激光笔每次移动相等的距离时，激光光点移动距离变化较大，经分析可能是由于黑色边框眼镜镜片是非球面的。为了避免非球面镜的影响，选取镜片中间区域L1=10mm的距离进行多次测量，数据如表2所示；橘色边框眼镜较红色眼镜框窄一些，取L1=30mm的距离进行多次测量，数据如表3所示。
计算得到黑色边框眼镜左眼、右眼镜片的度数分别为204±4度和153±4度，相对不确定度分别为2.0%和2.6%，相对误差均为2.0%。
同理计算得到橘色边框眼镜左眼、右眼镜片的度数分别为156±3度和105±3度，相对不确定度分别为1.9%和2.9%，相对误差分别为4%和5%。
从实验可以看出，方案改进后测量误差明显减小。
3.3 镜片面型判别
在测量三种眼镜的过程中，黑框眼镜的边缘对光的散射明显不同于光轴附近的区域，与另外两种眼镜对光的偏折现象存在很大差别，为此对三种镜片进行了分段测量，实验数据如表4、表5、表6所示。
根据眼镜度数计算在不同位置测量的眼镜度数的样本标准偏差。
左右平均度数值分别为153度和197度；样本偏差分别为3度和2度。
同理计算黑红色边框眼镜左、右平均度数值分别为196度和151度；样本偏差分别为36度和50度。
同样地计算橘色边框眼镜左、右平均度数值分别为156度和107度；样本偏差分别为3度和2度。
从实验结果可以看到黑色镜片的两侧可测量度数与中间的测量度数相差很大导致样本标准偏差很大，相对偏差最低都在18%以上，对比前述实验相同实验条件下相对测量偏差小于5%的结果，说明黑框眼镜镜片屈光度不均匀，可以判定其镜片为非球面，而红色边框眼镜和橘色边框眼镜度数分布基本均匀，相对测量偏差均小于5%，可以判定其镜片为球面。
4 采用Tracker软件减小激光点距离测量误差
改进后的测量方案可以有效地保证激光笔在测量过程中平行移动，同时实现激光笔平移距离L1及眼镜到直尺的距离H的准确测量，但由于激光光点较大、读数时需要根据光点能量中心进行目视估计，同时由于光点强度较强、光点刺眼（见图6）等问题都会引起读数的误差，导致最终计算结果出现一定误差。为此采用Tracker软件来对拍摄的激光光点在卷尺上移动的位置视频进行分析[11-13]，实现光点位置的准确测量。
图6 投射到卷尺上的激光点
将拍摄的实验视频导入到Tracker 软件中，通过菜单栏“轨迹→新建→质点”创建两个质点对象，拖动圆圈边缘使其完全包含激光点，另一个质点对象对准卷尺附近的刻度线（也可建立定标杆），记录Tracker软件给出的激光点移动距离的X轴坐标值和标尺的X轴坐标值，由激光点移动距离的X轴坐标值与标尺X轴坐标值之比乘以标尺的值，可计算出激光点移动距离。以红色边框眼镜为例，采用Tracker软件重新进行了一组测量，其实验数据如表7所示。
测量得到左眼、右眼镜片光点移动距离平均值为117.8mm、141.4mm，计算得到红色边框眼镜左侧、右侧镜片的度数分别为152.3±1.2度和198.5±1.5度；相对测量误差分别为0.8%、0.7%；百分误差分别为1.3%和0.5%，测量误差进一步减小。
5 结语
通过分析“激光照射在眼镜上，移动眼镜时光点会移动”的实验现象，设计出利用一支激光笔和一把尺子简便测量眼镜度数的方法。通过改进可以实现专业仪器测量的精度，同时利用此方案还实现了镜片类型的判断。
居家自主实验要求学生在充分弄懂实验原理的基础上精心设计实验方案，充分利用手边的材料与工具，结合现有的手机软件加上精巧的设计，可以完成许多实验室才能完成的内容。实验过程充分调动了学生自主探究的学习热情，培养学生独立思考和积极创新的能力，可大幅提高学生的动手能力以及对未知领域探索的兴趣。居家自主实验是疫情时期的一种线上教学的探索,实践证明居家实验对于丰富教学手段，提高实验教学质量，培养学生自主创新能力意义重大，是实验教学方法的创新，值得我们进一步研究。
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基金项目: 高等学校教学研究项目高物课教指字[2020]05号（DJZW202015xb）；西安交通大学2019年本科实践教学改革研究专项项目（19SJZX23）。
通讯作者: 毛胜春，女，西安交通大学高级工程师，主要从事物理实验的教学和研究工作，
[email protected]。
引文格式:周思颖，毛胜春，高博，等. 眼镜度数简便测量及镜片面型判别[J]. 物理与工程，2021，31（3）：113-119.
Cite this article:ZHOU S Y, MAO S C, GAO B, et al. Simple measuring glasses degree and determining lens type by simple tools[J]. Physics and Engineering, 2021， 31（3）：113-119. (in Chinese)
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