已知点P是双曲线左支上的一点 PF1*PF2=0 渐近线为PF2垂直平分线 求离心率

Question

急求 ！！！！！！

Answer 1

双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别是F1，F2，
P(x1,y1)是双曲线左支上的一点,x1^2/a^2-y^2/b^2=1,①x1<0,
PF1*PF2=0,∴PF1⊥PF2，
渐近线y=bx/a垂直平分PF2，
∴PF1平行于渐近线y=bx/a，
∴y1/(x1+c)=b/a，y1=b(x1+c)/a,②
把②代入①，-c(2x1+c)=a^2,x1=-(a^2+c^2)/(2c),
代入②，y1=b^3/(2ac),
由PF1^2+PF2^2=F1F2^2得(x1+c)^2+y1^2+(x1-c)^2+y1^2=4c^2,
整理得x1^2+y^2=c^2,
(a^2+c^2)^2/(4c^2)+b^6/(4a^2c^2)=c^2,
a^2*(a^4+2a^2c^2+c^4)+(c^2-a^2)^3=4a^2c^4,设e=c/a,则
1+2e^2+e^4+(e^2-1)^3=4e^4,
整理得e^6-6e^4+5e^2=0,e>1,
∴e^2=5,e=√5，为所求.

Answer 2

焦点到渐近线距离等于b，
PF2=2b，再利用中位线关系导出PF1=2a，故而2b-2a=2a（双曲线定义）
所以可以推导出b=2a。既得e=√5