å·®åæ¹ç¨æ¯å«ææªç¥å½æ°åå
¶å¯¼æ°çæ¹ç¨ï¼æ»¡è¶³è¯¥æ¹ç¨çå½æ°ç§°ä¸ºå·®åæ¹ç¨ç解ã
æä¹
ããå·®åæ¹ç¨æ¯å¾®åæ¹ç¨ç离æ£åãä¸ä¸ªå¾®åæ¹ç¨ä¸ä¸å®å¯ä»¥è§£åºç²¾ç¡®ç解ï¼æå®åæå·®åæ¹ç¨ï¼å°±å¯ä»¥æ±åºè¿ä¼¼ç解æ¥ã ããæ¯å¦ dy+y*dx=0 ,y(0)=1 æ¯ä¸ä¸ªå¾®åæ¹ç¨ï¼ xåå¼[0,1] ãã(æ³¨ï¼ è§£ä¸ºy(x)=e^(-x)); ããè¦å®ç°å¾®åæ¹ç¨ç离æ£åï¼å¯ä»¥æxçåºé´åå²ä¸ºè®¸å¤å°åºé´ [0,1/n],[1/n,2/n],...[(n-1)/n,1] ããè¿æ ·ä¸è¿°å¾®åæ¹ç¨å¯ä»¥ç¦»æ£åä¸ºï¼ å·®åæ¹ç¨
y((k+1)/n)-y(k/n)+y(k/n)*(1/n)=0ï¼ kï¼0,1,2,...,n-1 ï¼n 个离æ£æ¹ç¨ç»ï¼ ããå©ç¨y(0)=1çæ¡ä»¶ï¼ä»¥åä¸é¢çå·®åæ¹ç¨ï¼å°±å¯ä»¥è®¡ç®åº y(k/n) çè¿ä¼¼å¼äºã ãã§1 åºæ¬ç论 å·®åæ¹ç¨
1. å·®å ãã2. ä»»ææ°å{xn },å®ä¹å·®åç®åÎå¦ä¸ï¼ ããÎxn=xn+1-xn ãã对æ°æ°åååºç¨å·®åç®åï¼æ ããÎ2xn=Î(Îkxn).
æ§è´¨
ããæ§è´¨1 Îk(xn+yn)=Îkxn+Îkyn ããæ§è´¨2 Îk(cxn)=cÎkxn ããæ§è´¨3 Îkxn=â(-1)jCjkXn+k-j ããæ§è´¨4 æ°åçé项为nçæ é次å¯å¯¼å½æ°ï¼å¯¹ä»»æk>=1,åå¨Î·ï¼æ Îkxn=f(k)(η) ããå·®åæ¹ç¨ ããå®ä¹8ã1 æ¹ç¨å
³äºæ°åçké¶å·®åæ¹ç¨ï¼ ããxn-a1xn-1-a2xn-2-â¦â¦aBxn-k=b(n=k,k+1,â¦â¦) ããå
¶ä¸a1,a2,------ak 为常æ°ï¼ akâ 0. è¥b=0,å该 æ¹ç¨æ¯é½æ¬¡æ¹ç¨ ããå
³äºÎ» ç代æ°æ¹ç¨ ããλk-a1λk-1-------ak-1λ-ak=0 ãã为对åºçç¹å¾æ¹ç¨ï¼æ ¹ä¸ºç¹å¾å¼ã
ç¼è¾æ¬æ®µä¾é¢
ãã1ï¼ å®éªå
容ä¸ç»ä¹ ãã2ï¼1 æå ããä¾1 Xn={n3},æ±åé¶å·®åæ°åï¼ ããxn â³xn â³2xn â³3xn â³4xn ãã1 7 12 6 0 ãã8 19 18 6 0 ãã27 37 24 6 0 ãã64 61 30 6 ãã125 91 36 ãã216 127 ãã343 ããå¯è§ï¼{n3},ä¸é¶å·®åæ°å为常æ°æ°åï¼åé¶ä¸º0ã ããç»ä¹ 1 对{1}ï¼{n},{n2},{n4},{n5}, åå«æ±åé¶å·®åæ°åã ããç»ä¹ 2 {C0n-1}{C1n-1}{C2n-1},{C4n-1},åå«æ±åé¶å·®åæ°å. ãã{Xn}çé项为nçä¸æ¬¡å½æ°ï¼ ããXn=a3n3+a2n2+a1n+a0 ããè¯æå®ä¸ºå¸¸æ°æ°åã ããè¯æ ç±Xn=a3n3+a2n2+a1n+a0å¯ç´æ¥è®¡ç® ã ããå®ç8ã1 è¥æ°åçé项æ¯å
³äºn çk次å¤é¡¹å¼ï¼å k é¶å·®åæ°å为éé¶æ°åï¼k+1é¶å·®åæ°å为0ã ããç»ä¹ 3 è¯æå®ç8ã1 ã ããå®ç8ã2 è¥{Xn}ç k é¶æå为éé¶å¸¸æ°åï¼å{Xn}æ¯ nç k次å¤é¡¹å¼ï¼ ããç»ä¹ 4 æ ¹æ®å·®åçæ§è´¨è¯æå®ç8ã2 ããä¾2ãæ±âi3 ããä¾3 ããä¾4 ãã解 设Sn=âi3 表 ããSn â³Sn â³2Sn â³3Sn â³4Sn â³5Sn ãã1 8 19 18 6 0 ãã9 27 37 24 6 0 ãã36 64 61 30 6 0 ãã100 125 91 36 6 0 ãã225 216 127 42 ãã441 343 169 ãã784 512 ãã1296 ãã设Sn=a4n4+a3n3+a2n2+a1n+a0, s1=1,s2=9,s3=36,s4=100,s5=225,å¾ ããa0=0, a1=0, a2=1/4, a3=1/2, a4=1/4. ããæä»¥ï¼ ããSn=(1/4)n4+(1/2)n3+(1/4)n2. ããç»ä¹ {Xn}çé项Xn为nçk次å¤é¡¹å¼ï¼è¯æâxi为nç k+1次å¤é¡¹å¼ï¼æ± ããâi4. ããç±ç»ä¹ 2 {Crn-1}å¯å¾ã ãã2.2å·®åæ¹ç¨ ãã对äºä¸ä¸ªå·®åæ¹ç¨ï¼å¦æè½æ¾åºè¿æ ·çæ°åé项ï¼å°å®å¸¦å
¥å·®åæ¹ç¨åï¼è¯¥æ¹ç¨æ为æçå¼ï¼è¿ä¸ªé项å«åå·®åæ¹ç¨ç解ã ããä¾3 对差åæ¹ç¨ xn-5xn-1+6xn-2=0,å¯ç´æ¥éªè¯xn=c13n+c22næ¯è¯¥æ¹ç¨ç解ã ããä¾3ä¸ç解ä¸å«æä»»æ常æ°ï¼ä¸ä»»æ常æ°ç个æ°ä¸å·®åæ¹ç¨çé¶æ°ç¸åãè¿æ ·ç解å«åå·®åæ¹ç¨çé解ã ããè¥ké¶å·®åæ¹ç¨ç»å®äºæ°ååk项çåå¼ï¼åå¯ä»¥ç¡®å®é解çä»»æ常æ°ï¼å¾å°å·®å ããçç¹è§£ã ããä¾4对差åæ¹ç¨xn-5xn-1+6xn-2=0,è¥å·²ç¥x1=1,x2=5,åå¯ä»¥å¾å°è¯¥å·®åæ¹ç¨çç¹è§£ä¸ºxn=3n-2n. ããæ们é¦å
ç 究é½æ¬¡çº¿æ§å·®åæ¹ç¨çæ±è§£ã ããxn=rxn-1 ãã对ä¸é¶å·®åæ¹ç¨ ããx1=a ããæ¾ç¶æxn=arn-1ãå æ¤ï¼è¥æ°å满足ä¸é¶å·®åæ¹ç¨ï¼å该æ°å为ä¸ä¸ªçæ¯æ°åã ããä¾5 æ±Fibonacciæ°å{Fn}çé项ï¼å
¶ä¸F1=1,F2=1,Fn=Fn-1+Fn-2. ããFibonacciæ°åçåå 项为ï¼1ï¼1ï¼2ï¼3ï¼5ï¼8ï¼13ï¼21ï¼34ï¼55ï¼89ï¼â¦ã该æ°åæçé常广æ³çåºç¨ã ããFibonacciæ°åæ满足çå·®åæ¹ç¨ä¸º ããFn-Fn-1-Fn-2=0, ããå
¶ç¹å¾æ¹ç¨ä¸º ããλ2-λ-1=0 ããå
¶æ ¹ä¸ºÎ»1= ,λ2= .å©ç¨Î»1λ2å¯å°å·®åæ¹ç¨å为 ããFn-(λ1+λ2)Fn-1+λ1λ2Fn-2=0, ããå³ ããFn-λ1Fn-1=λ2(Fn-1-λ1Fn-2) ããæ°åï½Fn-λ1Fn-1ï½æ»¡è¶³ä¸ä¸ªä¸é¶å·®åæ¹ç¨ï¼æ¾ç¶ ãã( ) ããåçå¯å¾ ãã( ) ããç±ä»¥ä¸ä¸¤å¼å¯è§£åº çé项ã ããç»ä¹ 9 è¯æè¥æ°å{ }满足äºé¶å·®åæ¹ç¨ ï¼å
¶ç¹å¾æ¹ç¨ ç±ä¸¤ä¸ªä¸ç¸ççæ ¹ ï¼å 为该差åæ¹ç¨ç两个ç¹è§£ãä»èå
¶é解为 ã ããç±ç»ä¹ 9ï¼è¥äºé¶å·®åæ¹ç¨çç¹å¾æ¹ç¨æ两个ä¸ç¸ççæ ¹ï¼å¯ååºå
¶é解çä¸è¬æ§å¼ãåç± çå¼å¯è§£åºå
¶ä¸çç³»æ°ï¼ä»èååºå·®åæ¹ç¨çç¹è§£ã ããç»ä¹ 10 å
·ä½æ±åº Fibonacciæ°åçé项ï¼å¹¶è¯æ ãé£ä¹,è¥äºé¶çº¿æ§é½æ¬¡å·®åæ¹ç¨æ两个ç¸ççæ ¹ï¼å
¶è§£æå¦ä½æ¥æ±å¢ï¼ ãã设äºé¶çº¿æ§é½æ¬¡å·®åæ¹ç¨çç¹å¾æ¹ç¨æ两个ç¸ççæ ¹ ï¼åå·®åæ¹ç¨å¯å为 ãå·®åæ¹ç¨ç两边åæ¶é¤ä»¥ ï¼æ ã设 ,å (n>=3)ãç±äºè¯¥å¼å¨ n>=3å¼åæç«,æ们å°å®æ¹å为 (n>=1)ã (8.2) ããæ¹ç¨(8.2)çå·¦è¾¹æ¯ çäºé¶å·®å,ä»èæ ,äºæ¯ æ¯nç ä¸æ¬¡å½æ°,设为 åæ ãä¸æ¯å³ä¸ºå·®åæ¹ç¨çé解ã ããç»ä¹ 11 è¯æï¼è¥æ°å{ } æ满足çä¸é¶å·®åæ¹ç¨çç¹å¾æ¹ç¨ç±ä¸ä¸ªç¸ççæ ¹ ï¼åå·®åæ¹ç¨çé解为 ã ããä¸è¬çï¼è®¾ •••, 为差åæ¹ç¨çç¹å¾æ¹ç¨ææä¸åç解,å
¶éæ°åå«ä¸º •••ï¼ ï¼åå·®åæ¹ç¨å¯¹åºäºå
¶ä¸çæ ¹ ï¼i=1ï¼25••ï¼lï¼çç¹è§£ ••• ã ãã对äºä¸è¬çké¶é½æ¬¡çº¿æ§å·®åæ¹ç¨ï¼æ们å¯ä»¥éè¿å
¶ç¹å¾æ¹ç¨å¾å°ä¸è¿°å½¢å¼çk个ç¹è§£ï¼è¿èå¾å°å·®åæ¹ç¨çé解ã ããç»ä¹ 12 è¥æ°å{ } 满足差åæ¹ç¨ ããä¸ æ±{ }çé项ã ããä¾6 è¥å®ç³»æ°å·®åæ¹ç¨çæ ¹ä¸ºèæ°ï¼åå
¶è§£ä¹æ¯ç¨èæ°è¡¨ç¤ºçï¼è¿ç»è®¨è®ºé®é¢å¸¦æ¥ä¸ä¾¿ãå·®åæ¹ç¨ ããxn-2xn-1+4xn-2=0 ããçç¹å¾å¼ä¸º i.è¥x1=1,x2=3,ç±ä¸é¢çç¨åºææ±åºå
¶ç¹è§£ä¸ºï¼ ããxn=( )(1+ i)n+(ï¼ )(1ï¼ i)n ããClear[x1,x2,c1,c2,l1,l2,solution]; ããx1=1;x2=3; ããsolution=Solve[1^2-2l+4==0,1]; ããl1=l/.solution[[1,1]]; ããl2=l/.solution[[2,1]]; ããc=Solve[{c1*l1+c2*l2==x1,c1*l1^2+c2*l2^2==x2},{c1,c2}]; ããc1=Simplify[Re[c1]]+Simplify]*I; ããc2=Simplify[Re[c2]]+Simplify]*I; ããPrint[âxn=(â,c1,â)(â,l1,â)^n+(â,c2,â)(â,l2,â)^nâ] ãã解çå½¢å¼ç¸å½å¤æï¼æ¯å¦å¯ä»¥å°å®ä»¬ç¨å®æ°è¡¨ç¤ºå¢ï¼ ãã设 =rei ,å ï¼re ,æ们å¯å°ï¼8ï¼4ï¼ä¸ç表达å¼æ¹å为 ããxn=re (2e )n+re (2e )\n ãã=r ãã=2r Cos( ) ãã=(2rCos ) ãã= ããå¯ä»¥çåºï¼é项å¯ä»¥åæ çå½¢å¼ï¼é£ä¹ï¼ ä¸ æ¯ä¸æ¯å·®åæ¹ç¨çç¹è§£å¢ï¼ ããç»ä¹ 13 éªè¯ ä¸ æ¯å·®åæ¹ç¨(8.3)çç¹è§£. ãã对äºå·®åæ¹ç¨(8.3),æ们æ¾åºäºå®ç两个å®åçç¹è§£,ä»èå¯ä»¥å°é解表示æå®æ°çå½¢å¼.è¿ä¸æ¹æ³å¯¹äºä¸è¬çæ¹ç¨ä¹æ¯æç«ç. ããç»ä¹ 14 设 ç两个ç¹å¾å¼ä¸º .è¯æ该差åæ¹ç¨çé解å¯è¡¨ç¤ºä¸º . ããç»ä¹ 15 ç¨å®æ°è¡¨ç¤ºå·®åæ¹ç¨ çç¹è§£. ããä¸æ¬¡æ们讨论äºå
¶æ¬¡çº¿æ§å·®åæ¹ç¨çæ±è§£æ¹æ³.é£ä¹,éé½æ¬¡çº¿æ§å·®åæ¹ç¨æ¯å¦å¯ä»¥å为é½æ¬¡çº¿æ§å·®åæ¹ç¨å¢? ããç»ä¹ 16 è¥å·²ç¥éé½æ¬¡çº¿æ§å·®åæ¹ç¨ ãã••• ï¼8.5ï¼ ããçä¸ä¸ªç¹è§£ä¸º æ±è¯:è¥ä»¤ å 满足é½æ¬¡å·®åæ¹ç¨ ãã••• ããç±ç»ä¹ 16,è¥å·²ç¥éé½æ¬¡çº¿æ§å·®åæ¹ç¨(8.5)çä¸ä¸ªç¹è§£,å°±å¯ä»¥å°å®å为é½æ¬¡çº¿æ§å·®åæ¹ç¨. ããæ¾ç¶æ¹ç¨(8.5)çæç®åçå½¢å¼ä¸º (å
¶ä¸p为常æ°),代å
¥(8.5)å¾ ãã••• ããè¥ ••• åæ ãã称p = 为éé½æ¬¡çº¿æ§å·®åæ¹ç¨ï¼8.5ï¼ç平衡å¼ãå¨ï¼8.5ï¼ä¸ï¼ 令 åæ ããç± ï¼å¾ ãã. ããä»èå¯å°åæ¥çéé½æ¬¡çº¿æ§å·®åæ¹ç¨å为é½æ¬¡çº¿æ§å·®åæ¹ç¨. ããå¦ææ¹ç¨ï¼8.5ï¼ç平衡å¼ä¸åå¨ï¼å¯ä»¥å°æ¹ç¨ï¼8.5ï¼ä¸ææçnæ¢ä¸ºn+1,å¾å° ããï¼8.6ï¼ ããæ¹ç¨ï¼8.6ï¼åï¼8.5ï¼ç¸åå¾ ãã. ããäºæ¯å¯å°åæ¥çéé½æ¬¡çº¿æ§å·®åæ¹ç¨å为é«ä¸é¶çé½æ¬¡çº¿æ§å·®åæ¹ç¨. ããç»ä¹ 17 åå«æ±å·®åæ¹ç¨ å çé解. ãã2.3 代æ°æ¹ç¨æ±æ ¹ ããç± Fibonacciæ°åçæ§è´¨ï¼æ们å¯ä»¥ç¨ æ¥é¼è¿ ï¼ç¨è¿ä¸æ§è´¨å¯ä»¥æ¥è®¡ç® çè¿ä¼¼å¼ãä¸è¬å°ï¼å¯¹a>0ï¼å¯ä»¥ç¨æé å·®åæ¹ç¨çæ¹æ³æ¥æ± çè¿ä¼¼å¼. ãã对ç»å®çæ£æ°aï¼è®¾Î»1= ï¼Î»2= ï¼åλ1 ï¼Î»2æ¯æ¹ç¨Î»2-2λ+(1+a)=0çæ ¹.该æ¹ç¨æ¯å·®åæ¹ç¨ çç¹å¾æ¹ç¨ãäºæ¯ï¼éå® ,å©ç¨å·®åæ¹ç¨ å¯ä»¥æé ä¸ä¸ªæ°å{ }. ããç»ä¹ 18 è¯æï¼è¥a>1,对任æç >0, >0,è¥ â ï¼åæä¸è¿°æ³æé çæ°å{ }满足 ãã. ããè¿æ ·ï¼æ们å¾å°äºè®¡ç® çä¸ä¸ªæ¹æ³ï¼ ãã1ï¼ ç»å® ï¼ä½ä¸ºè¯¯å·®æ§å¶ï¼ï¼ä»»ååå§å¼ ï¼ä»¤n=1; ãã2ï¼ è¥ ããï¼ ããåç»æ¢è®¡ç®ï¼è¾åºç»æï¼å¦å ï¼ä»¤n ï¼=n+1,转第3æ¥ï¼ ãã3ï¼ ä»¤ ,转第2æ¥. ããç»ä¹ 19 对a=1.5,10,12345,ç¨ä¸è¿°æ¹æ³æ± . ããä¸è¿°æ¹æ³çæ¶æé度ä¸å¤å¿«ï¼æ们å¯ä»¥å 以æ¹è¿ ãã设æ´æ°u满足 ,令 ,å ï¼ æ¯æ¹ç¨ çä¸¤ä¸ªæ ¹. ããç»ä¹ 20 æ ¹æ®ä¸é¢çå·®åæ¹ç¨çæ件æ°å{ x },ä½¿å¾ ãã. ããç»ä¹ 21 对ç»ä¹ 19ä¸çaï¼ç¨ä¸é¢çæ¹æ³æ¥è®¡ç® ï¼å¹¶æ¯è¾ä¸¤ç§æ¹æ³çæ¶æé度. ãã代æ°æ¹ç¨ ããï¼8.7ï¼ ããæ¯å·®åæ¹ç¨ï¼8.1ï¼çç¹å¾æ¹ç¨ï¼æ¯å¦å¯ä»¥ç¨æ¤å·®åæ¹ç¨æ¥æ±è§£æ¹ç¨ï¼8.7ï¼å¢ï¼ ãã设æ¹ç¨ï¼8.7ï¼æk个äºä¸ç¸åçæ ¹æ»¡è¶³ ããï¼ ï¼8.8ï¼ ããå对åºçå·®åæ¹ç¨çé解形å¼ä¸º ãã. ããç»ä¹ 22 设æ¹ç¨ï¼8.7ï¼çæ ¹æ»¡è¶³æ¡ä»¶ï¼8.8ï¼ï¼ä»»ååå§å¼ ç¨å·®åæ¹ç¨ï¼8.1ï¼ï¼åb=0ï¼æé æ°å{ }.è¥éè§£ä¸ çç³»æ° â 0ï¼è¯æï¼ ãã. ããå©ç¨ç»ä¹ 22å¾å°çç»è®ºï¼æ们å¯ä»¥æ±å¤é¡¹å¼æ¹ç¨çç»å¯¹å¼æ大çæ ¹. ããç»ä¹ 23 æ±æ¹ç¨ çç»å¯¹å¼æ大çæ ¹. ããäºå®ä¸ï¼è¥æ¹ç¨ï¼8.7ï¼çäºä¸ç¸åçæ ¹æ»¡è¶³ ãã⥠â¥â¦â¥ ãã(å
¶éæ°åå«ä¸º )ï¼åç»ä¹ 22ä¸çç»è®ºä»ç¶æç«. ãã2.4 å½æ°æ¶å
¥4 å½æ°æ¶å
¥ç稳å®é®é¢ ããä¸ä¸ªå½å®¶çå½æ°æ¶å
¥å¯ç¨äºæ¶è´¹ï¼åç产çæèµçãä¸è¬å°è¯´ï¼æ¶è´¹ä¸åç产æèµé½ä¸åºè¯¥æ²¡æéå¶ãåççæ§å¶åé¨åæèµï¼è½å¤ä½¿å½æ°ç»æµå¤äºä¸ç§è¯æ§å¾ªç¯ä¹ä¸ãå¦ä½é
åé¨åæèµçæ¯ä¾ï¼æè½ä½¿å½æ°ç»æµå¤äºç¨³å®ç¶æå¢ï¼è¿å°±æ¯æ¬èè¦è®¨è®ºçé®é¢ã ããæ们é¦å
ç»åºä¸äºå设æ¡ä»¶ï¼ ãã1ï¼ å½æ°æ¶å
¥ç¨äºæ¶è´¹ãåç产æèµåå
Œ
±è®¾æ½å»ºè®¾ä¸é¨åã ãã2ï¼ è®° åå«ä¸ºç¬¬k个å¨æçå½æ°æ¶å
¥æ°´å¹³åæ¶è´¹æ°´å¹³ã çå¼ä¸åä¸ä¸ªå¨æçå½æ°æ¶å
¥ææ£æ¯ä¾ãå³ =A , (8.9)å
¶ä¸A为常æ°ï¼0ã3ï¼ ç¨ è¡¨ç¤ºç¬¬k个å¨æå
ç¨äºåç产çæèµæ°´å¹³ï¼å®åå³äºæ¶è´¹æ°´å¹³çååï¼å³ . (8.10) ãã4ï¼ G表示æ¿åºç¨äºå
Œ
±è®¾æ½çå¼æ¯ï¼è®¾G为常æ°.ç±å设1æ . (8.11)ä¸å¼æ¯ä¸ä¸ªå·®åæ¹ç¨ï¼å½ç»å® çå¼åï¼å¯ç´æ¥è®¡ç®åºå½æ°æ¶å
¥æ°´å¹³ ï¼k=2,3,â¦ï¼æ¥è§å¯å
¶æ¯å¦ç¨³å®ã ããä¾7 è¥ ï¼è®¡ç®å¯å¾è¡¨8.3ä¸æ°æ®ã ãã表8.3 Y çå¼çåå ããk 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ãã11.0 24.5 35.8 39.1 32.9 20.3 7.48 0.95 3.93 15.0 ããk 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 ãã28.5 37.8 38.2 29.5 16.0 4.58 0.82 6.65 19.2 32.1 ããæ们å¯ä»¥ç»åº çæ£ç¹å¾æ¥è§å¯å
¶ååãå
¶è®¡ç®åç»å¾çç¨åºå¦ä¸ï¼ ããy0=2;y1=2;a=0.5;b=2;g=10; ããy={y0,y1}; ããFor[k=1,k<=20,k++, ããY2=a(1+b)*y1-b*a*y0+g; ããY=Append[y,y2]; ããY0=y1,y1=y2] ããYListPlot[y,PlotJoined True, ããPlotStyle Thickness[0.012]] ããå¾8.1 å½æ°æ¶å
¥ çåå ããç±å¾8.1å©ç¨åç°ï¼åä¾7çæ°æ®å¾åºç çåç°åºå¨æååç迹象ã ããç»ä¹ 24设 ï¼å¯¹äºè¡¨8.4ä¸çåæ°A,B,åå«è®¡ç® ï¼k=2,3,â¦ï¼å¹¶ç»å¾è§å¯ çååã ãã表8.4 åæ°A, Bçåå¼ ããA 1/2 1/2 1/2 8/9 9/10 3/4 4/5 ããB 1 2 3 1/2 1/2 3 3 ããå¯ä»¥çåºï¼éçåæ°çå¼ä¸åï¼å½æ°æ¶å
¥æ°´å¹³ ï¼k=2,3,â¦ï¼ç稳å®æ§åç°åºä¸åçç¶æã ããé£ä¹ï¼åæ°æ»¡è¶³ä»ä¹æ¡ä»¶æ¶ï¼å½æ°æ¶å
¥æ°´å¹³æå¤äºç¨³å®åå±ä¹ä¸å¢ï¼ ããå·®åæ¹ç¨ï¼8.11ï¼æ¯ä¸ä¸ªå¸¸ç³»æ°éé½æ¬¡çº¿æ§å·®åæ¹ç¨ãç±A<1容ææ±åºå
¶å¹³è¡¡å¼ä¸º ãã令 å¯å¾ ãã. ããå
¶ç¹å¾å¼ä¸º ããè¥ å ããå
¶ä¸ 为 çå¹
è§ã ããä»èå¯çå·®åæ¹ç¨ç解为 ããå
¶ä¸ 为常æ°ã ããè¥ æè§ï½ ï½ä¸ºä¸å¨æå½æ°å¨ ---çåå¼ï¼ä»è{ }åå¨æååçç¶æãæ£å¦å¨ä¾7ä¸æè§å°çã ããç»ä¹ 25 è¥ å¨ å çæ
å½¢ä¸ï¼è®¨è®º{ }çååè¶å¿ãå½æ°æ¶å
¥ä¼ç¨³å®åå±åï¼ ããç»ä¹ 26 è¥ ï¼å½æ°æ¶å
¥å¨ä»ä¹æ¡ä»¶ä¸ä¼ç¨³å®åå±ï¼ ããæ¬å®éªæ¶åçMathematica软件è¯å¥è¯´æ ãã1. solution=Solve[1^2-2l+4==0,1]; ããl1=1/.solution[[1,1]]; ããl2=l/.solution[[2,1]]; ããå°æ¹ç¨l^2-2l+4==0çä¸¤æ ¹åå«èµå¼ç»l1ål2. ãã2. c=Solve[{c1*l1+c2*l2==x1,c1*l1^2+c2*l2^2==x2},{c1,c2}]; ãã{c1,c2}={c1,c2}/.c[[1]]; ããå°æ¹ç¨ç»{c1*l1+c2*l2==x1,c1*l1^2+c2*l2^2==x2}ç解èµå¼ç»c1åc2. ãã3. c1=Simplify[Re[c1]]+Simplify]*I ããå°å¤æ°c1åç®.
ç¼è¾æ¬æ®µçº¿æ§å·®åæ¹ç¨
æ¦å¿µ
ããå½¢å¦ ããyt+n+a1(t)yt+n-1+a2(t)yt+n-2+â¦+an-1(t)ytï¼1+an(t)yt=f(t) ããçå·®åæ¹ç¨ï¼ç§°ä¸ºné¶éé½æ¬¡çº¿æ§å·®åæ¹ç¨ãå
¶ä¸a1(t)ï¼a2(t)ï¼â¦ï¼an-1(t)ï¼an(t)åf(t)é½æ¯tçå·²ç¥å½æ°ï¼ä¸an(t)â 0ï¼f(t)â 0ãèå½¢å¦ ããyt+n+a1(t)yt+n-1+â¦ï¼an-1(t)yt+1+an(t)yt=0 ããçå·®åæ¹ç¨ï¼ç§°ä¸ºné¶é½æ¬¡çº¿æ§å·®åæ¹ç¨ãå
¶ä¸ai(t)(i=1ï¼2ï¼â¦ï¼n)为tçå·²ç¥å½æ°ï¼ä¸an(t)â 0ã ããå¦æai(t)=ai(i=1ï¼2ï¼â¦ï¼n)å为常æ°(anâ 0)ï¼åæ ããyt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+â¦+an-1yt+1+anyt=f(t)ï¼ ããyt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+â¦+an-1yt+1+anyt=0ã ããåå«ç§°ä¸ºné¶å¸¸ç³»æ°éé½æ¬¡çº¿æ§å·®åæ¹ç¨åné¶å¸¸ç³»æ°é½æ¬¡çº¿æ§å·®åæ¹ç¨ã
å®ç
ããå®ç1(é½æ¬¡çº¿æ§å·®åæ¹ç¨è§£çå å åç) ããè¥y1(t)ï¼y2(t)ï¼â¦ï¼ym(t)æ¯é½æ¬¡çº¿æ§å·®åæ¹ç¨yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2+â¦+an-1yt+1+anyt=0çm个ç¹è§£(mâ¥2)ï¼åå
¶çº¿æ§ç»åy(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+â¦+Amym(t)ä¹æ¯æ¹ç¨ ç解ï¼å
¶ä¸A1ï¼A2ï¼â¦ï¼Am为任æ常æ°ã ããå®ç2 né¶é½æ¬¡çº¿æ§å·®åæ¹ç¨yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2 +â¦+an-1yt+1+anyt=0ä¸å®åå¨n个线æ§æ å
³çç¹è§£ã ããå®ç3(é½æ¬¡çº¿æ§å·®åæ¹ç¨é解ç»æå®ç) ããå¦æy1(t)ï¼y2(t)ï¼â¦ï¼yn(t)æ¯é½æ¬¡çº¿æ§å·®åæ¹ç¨yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2 +â¦+an-1yt+1+anyt=0çn个线æ§æ å
³çç¹è§£ï¼åæ¹ç¨ çéè§£ä¸ºï¼ ããyA(t)ï¼A1y1(t)+A2y2(t)+â¦+Anyn(t)ï¼ ããå
¶ä¸A1ï¼A2ï¼â¦ï¼An为n个任æ(ç¬ç«)常æ°ã ããå®ç4(éé½æ¬¡çº¿æ§å·®åæ¹ç¨é解ç»æå®ç) ããå¦æ (t)æ¯éé½æ¬¡çº¿æ§æ¹ç¨yt+n+a1(t)yt+n-1+a2(t)yt+n-2 +â¦+an-1(t)ytï¼1+an(t)yt=f(t)çä¸ä¸ªç¹è§£ï¼yA(t)æ¯å
¶å¯¹åºçé½æ¬¡çº¿æ§æ¹ç¨yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2 +â¦+an-1yt+1+anyt=0çé解ï¼é£ä¹ï¼éé½æ¬¡çº¿æ§å·®åæ¹ç¨çéè§£ä¸ºï¼ ããy(t)=yA(t)+ (t) ããå³ ããy(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+â¦+Anyn(t)+ (t)ï¼ ããè¿éA1ï¼A2ï¼â¦ï¼An为n个任æ(ç¬ç«)常æ°ã
ç¼è¾æ¬æ®µé解åç¹è§£
é½æ¬¡å·®åæ¹ç¨çé解
ããå°æ¹ç¨yt+1+ayt=0æ¹å为ï¼yt+1=-aytï¼t=0ï¼1ï¼2ï¼â¦ãåå®å¨åå§æ¶å»(å³t=0)æ¶ï¼å½æ°ytåä»»æå¼Aï¼é£ä¹ç±ä¸å¼é次è¿ä»£ï¼ç®å¾ ããy1=-ay0=-aAï¼y2=-ay1=(-a)2Aï¼â¦â¦â¦â¦â¦â¦ å·®åæ¹ç¨
æ¹ç¨çé解为yt =A(-a)t ï¼t=0ï¼1ï¼2ï¼â¦ ããå¦æç»å®åå§æ¡ä»¶t=0æ¶yt=y0ï¼åA=y0ï¼æ¤æ¶ç¹è§£ä¸ºï¼yt =y0(-a)t å·®åæ¹ç¨
ã
éé½æ¬¡æ¹ç¨çé解ä¸ç¹è§£
ããè¿ä»£æ³æ±é ããå°æ¹ç¨æ¹å为 yt+1=(-a)yt+f(t)ï¼ t=0ï¼1ï¼2ï¼â¦ã ããéæ¥è¿ä»£ï¼åæ ããy1=(-a)y0+f(0)ï¼y2=(-a)2y0+(-a)f(0)+f(1)ï¼y3=(-a)3y0+(-a)2f(0)+(-a)f(1)+f(2)ï¼â¦â¦â¦â¦â¦â¦ ããç±æ°å¦å½çº³æ³ï¼å¯å¾ ããå·®åæ¹ç¨ ããå
¶ä¸ ããå·®åæ¹ç¨ ãã为æ¹ç¨çç¹è§£ãyA(t)=(-a)ty0为对åºçé½æ¬¡æ¹ç¨çé解ã
ç¼è¾æ¬æ®µç»æµå¦ä¸çåºç¨
å款模å
ãã设St为tæå款æ»é¢ï¼i为å款å©çï¼åStä¸iæå¦ä¸å
³ç³»å¼ï¼ ããSt+1=St+iSt=(1+i)Siï¼ t=0ï¼1ï¼2ï¼â¦ ããå
¶ä¸S0为åå§å款æ»é¢ã
å¨æä¾éå衡模å(èç½å®ç)
ãã å·®åæ¹ç¨
设Dt表示tæçéæ±éï¼St表示tæçä¾ç»éï¼Pt表示ååtæä»·æ ¼ï¼åä¼ ç»çå¨æä¾éå衡模åä¸ºï¼ å·®åæ¹ç¨
å·®åæ¹ç¨ ããå
¶ä¸aï¼bï¼a1 ï¼b1å为已ç¥å¸¸æ°ã ãã(1)å¼è¡¨ç¤ºtæ(ç°æ)éæ±ä¾èµäºåæä»·æ ¼ï¼ ãã(2)å¼è¡¨ç¤ºtæ(ç°æ)ä¾ç»ä¾èµäº(t-1)æ(åæ)ä»·æ ¼ã å·®åæ¹ç¨
(3)å¼ä¸ºä¾éåè¡¡æ¡ä»¶ã ããè¥å¨ä¾é平衡çæ¡ä»¶ä¸ï¼èä¸ä»·æ ¼ä¿æä¸åï¼å³ Pt=Pt-1=Peï¼éæåè¡¡ä»·æ ¼ å·®åæ¹ç¨
å·®åæ¹ç¨ ããéæ±æ²çº¿ä¸ä¾ç»æ²çº¿ç交ç¹(Pe ï¼Qe)å³ä¸ºè¯¥ç§ååçéæåè¡¡ç¹ã å·®åæ¹ç¨
å¨æä¾éå衡模åççä»·å·®åæ¹ç¨ å·®åæ¹ç¨
å·®åæ¹ ããæ¹ç¨çä¸ä¸ªç¹è§£ ããå·®åæ¹ ããæ¹ç¨çé解为 ããå·®åæ¹ç¨ ããè¥åå§ä»·æ ¼P0å·²ç¥æ¶,å°å
¶ä»£å
¥é解ï¼å¯æ±å¾ä»»æ常æ°A=P0-Pe ï¼æ¤æ¶ï¼é解æ¹å å·®åæ¹ç¨
å·®åæ¹ç¨ ããå¦æåå§ä»·æ ¼P0=Pe ï¼é£ä¹Pt=Pe ï¼è¿è¡¨æ没æå¤é¨å¹²æ°åçï¼ä»·æ ¼å°åºå®å¨å¸¸æ°å¼Peä¸ï¼å³éæåè¡¡ãå¦æåå§ä»·æ ¼P0â Pe ï¼é£ä¹ä»·æ ¼Ptå°étçååèååã ããå·®åæ¹ç¨ ãã<1æ¶ï¼ ããå·®åæ¹ç¨ ããå¨æä»·æ ¼Ptéçtçæ éå¢å¤§éæ¸å°æ¯è¡è¶è¿äºéæåè¡¡ä»·æ ¼Pe ã ããå·®åæ¹ç¨
å¯æ©æ¯(Keynes.J.M)ä¹æ°å¨åå¦æ¨¡
ãã å·®åæ¹ç¨
设Yt表示tæå½æ°æ¶å
¥ï¼Ct为tææ¶è´¹ï¼It为tææèµï¼DI0为èªå(åºå®)æèµï¼I为å¨æåºå®æèµå¢éãå¯æ©æ¯å½æ°ç»æµæ¶æ¯å¨æå衡模åä¸ºï¼ ããå·®åæ¹ç¨ ãã(1)å¼ä¸ºåè¡¡æ¡ä»¶ï¼å³å½æ°æ¶å
¥çäºåææ¶è´¹ä¸åææèµä¹åï¼(2)å¼ä¸ºæ¶è´¹å½æ°ï¼å³ç°ææ¶è´¹æ°´å¹³ä¾èµäºåæå½æ°æ¶å
¥(æ¶è´¹æ»åäºæ¶å
¥ä¸ä¸ªå¨æ)ï¼a(â¥0)为åºæ¬æ¶è´¹æ°´å¹³ï¼b为边é
æ¶è´¹å¾å(0ï¼bï¼1)ï¼(3)å¼ä¸ºæèµå½æ°ï¼è¿éä»
èè为åºå®æèµã ããå¨(1)(2)(3)å¼ä¸æ¶å»CtåIt,å¾å°ä¸é¶å¸¸ç³»æ°éé½æ¬¡çº¿æ§å·®åæ¹ ããYt-bYt-1=a+I0+DI æ¹ç¨çä¸ä¸ªç¹è§£ ããå·®åæ¹ç¨ ããæ¹ç¨çé解为 ããå·®åæ¹ç¨ ããå
¶ä¸A为任æ常æ°ãç§°ç³»æ° ããå·®åæ¹ç¨ ãã为å¯æ©æ¯ä¹æ°ã
åç½å¾·(Harrod.R.H)ç»æµå¢é¿æ¨¡å
ãã å·®åæ¹ç¨
设St为tæå¨èï¼Yt为tæå½æ°æ¶å
¥ï¼It为tææèµï¼s称为边é
å¨èå¾å(å³å¹³åå¨èå¾å)ï¼0ï¼sï¼1ï¼k为å éç³»æ°ãåç½å¾·å®è§ç»æµå¢é¿æ¨¡åä¸ºï¼ ããå·®åæ¹ç¨ ããå
¶ä¸sï¼k为已ç¥å¸¸æ°ã ãã(1)å¼è¡¨ç¤ºtæå¨èä¾èµäºåæçå½æ°æ¶å
¥ï¼(2)å¼è¡¨ç¤ºtææèµä¸ºå两æå½æ°æ¶å
¥å·®çå éï¼ä¸é¢æèµæ¬å éç³»æ°k为常æ°ï¼(3)å¼ä¸ºåè¡¡æ¡ä»¶ã å·®åæ¹ç¨
ç»æ´çåå¾é½æ¬¡å·®åæ¹ç¨ ããå·®åæ¹ç¨ ããå
¶é解为 ããå·®åæ¹ç¨ ããå
¶ä¸A为任æ常æ°ï¼ å·®åæ¹ç¨
å·®åæ¹ç¨ ããï¼åç½å¾·ç§°ä¹ä¸ºâä¿è¯å¢é¿çâ å
¶ç»æµæä¹å°±æ¯ï¼å¦æå½æ°æ¶å
¥Ytæä¿è¯å¢é¿ç ããå·®åæ¹ç¨ ããå¢é¿ï¼é£ä¹å°±è½ä¿è¯tæå¨èä¸tææèµè¾¾å°å¨æåè¡¡ï¼å³It=St ï¼ t=0ï¼1ï¼2ï¼â¦ã
è¨ç¼ªå°æ£®(Samuelson P.A)ä¹æ°å éæ°æ¨¡å
ãã设Yt为tæå½æ°æ¶å
¥ï¼Ct为tææ¶è´¹ï¼It为tææèµï¼G为æ¿åºæ¯åº(åæåç¸å)ãè¨ç¼ªå°æ£®å°ä¹æ°åå éæ°ä¸¤ä¸ªåæ°åæ¶å¼è¿èå¾å°å½æ°ç»æµæ¶æ¯å衡模å(ä¹ç§°ä¸ºä¹æ°-å éæ°æ¨¡å)ï¼ ããå·®åæ¹ç¨ ããå
¶ä¸Gï¼0为常æ°ï¼b称为边é
æ¶è´¹å¾å(常æ°)ï¼k为å éæ°ã ããå°(2)(3)两å¼ä»£å
¥(1)并ç»æ´çåå¾ï¼Yt-b(1+k)Yt-1+bkYt-2ï¼Gï¼å
¶ç¹è§£ ããå·®åæ¹ç¨ ããå
¶ç»æµæä¹ä¸ºï¼å½æ°æ¶å
¥çåè¡¡å¼çäºå¯æ©æ¯ä¹æ° ããå·®åæ¹ç¨ ããä¸æ¿åºæ¯åºèªåæèµGçä¹ç§¯ã ãã对åºçé½æ¬¡æ¹ç¨ä¸º Yt-b(1+k)Yt-1+bkYt-2=0ï¼ ããå
¶ç¹å¾æ¹ç¨ä¸º A2-b(1+k)A+bk=0ï¼ç¹å¾æ¹ç¨çå¤å«å¼ ããå·®åæ¹ç¨ ããå½ ããå·®åæ¹ç¨ ããæ¶ï¼ç¹å¾æ¹ç¨æ两ç¸å¼å®æ ¹ ããå·®åæ¹ç¨ ããé½æ¬¡æ¹ç¨çéè§£ä¸ºï¼ ããå·®åæ¹ç¨ ããã ããå½ ããå·®åæ¹ç¨ ããæ¶ï¼ç¹å¾æ¹ç¨æä¸å¯¹ç¸çå®ç¹å¾æ ¹ ããå·®åæ¹ç¨ ããã ããé½æ¬¡æ¹ç¨çéè§£ä¸ºï¼ ããå·®åæ¹ç¨ ããã ããå½ ããå·®åæ¹ç¨ ããæ¶ï¼ç¹å¾æ¹ç¨æä¸å¯¹å
±è½å¤æ ¹ï¼ ããå·®åæ¹ç¨ ããé½æ¬¡æ¹ç¨çéè§£ä¸ºï¼ ããå·®åæ¹ç¨
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