如图,四边形ABCD是矩形,E,G分别是BC,AD边上的点,且GE⊥雨BD,若AB=3,BC=4？

Question

如题所述

Answer 1

四边形ABCD是一个矩形，E和G分别位于BC和AD边上。又因为GE垂直于BD，我们可以得出一个关键性质：由于矩形的两个对角线互相平分，所以BD就是矩形ABCD中的一条对角线。因此，GE垂直于BD也就是说GE是BD的高。

根据题目中给出的数据，AB=3, BC=4，我们可以计算出这个矩形的面积为12（即3×4）。现在我们需要计算点G到对角线BD的距离（即高），进而得到在矩形ABCD内部与GE同样高、且平行于BC的曲线EF的长度。

注意到三角形AEB与三角形CBG互相相似（都具有一个90度角和共享BC边），因此它们的对应边长成比例。根据这个比例关系，我们可以算出EB和CG的长度：

EB = AB × (BC / BD) = 3 × (4 / 5) = 12 / 5
CG = BC × (AC / BD) = 4 × (3 / 5) = 12 / 5

现在考虑三角形EGF也是相似于三角形AEB与CBG。由于EF与CG平行且它们之间距离相等（都等于GE的长度），所以我们可以用类似的方式计算EF的长度：

EF = EG × (EB / CG) = BD × GE × (EB / CG) = BD × GE × (12 / 5) / (12 / 5) = BD × GE

注意到BD的长度等于矩形ABCD的对角线长度，因此我们可以使用勾股定理求出BD的长度：

BD² = AB² + BC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
BD = √25 = 5

最终，我们得到：

EF = BD × GE = 5 × GE

因此，要计算矩形ABCD内与GE同样高、且平行于BC的曲线EF的长度，只需要将GE求出即可。由于GE是矩形ABCD中BD边上的高，它的长度即为三角形BGC面积除以BC边长：

GE = (BG × GC) / BC
= (3/2 * 4/3) / 4
= 1/2

因此，曲线EF的长度为：

EF = BD×GE
= 5 * (1/2)
= 2.5

所以在这个特定问题中，曲线EF的长度为2.5。

Answer 2

本题可以用相似三角形来解。作GF⊥BC于点F，则∠GFE=∠DAB=90°。
GE⊥BD，所以∠DBE+∠GEF=90°。
四边形ABCD为矩形，所以∠ABC=∠ABD+∠DBC=90°，∠ADB=∠DBE。
在Rt△DAB中∠ABD+∠ADB=90°。
在Rt△GFE中∠GEF+∠FGE=90°。
从上面可以推出∠FGE=∠ADB，∠GEF=∠ABD。
因此，△ABD相似于△GEF，AD/GF=BD/GE。
GF=AB=3，AD=4，BD=5，因此解得：GE=15/4。

Answer 3

如下图：