第二问结论，DF=3√10
辅助线：连接OF；过D做AB垂线，垂足M，DF交AB于N；
过程简单，通过特殊直角三角形（图中一些直角三角形的长直边是短直边的2倍）和勾股定理，图有所有线段长度均可求。
先看直角三角形CDE，长边是短边的2倍（已知）
通过相似，图中还有ADE、ADB、ADM、DBM都符合这一特性。
故BD=CD=2√5；AC=6；AD=4√5；DM=4；AB=10；BM=2；AM=8
因为DN是角平分线，
所以AD:BD=AN:BN
所以AN=20/3；BN=10/3
则ON=5/3；MN=4/3
而F又是特殊点，即OF垂直AB(因为DF是角平分线，AF弧＝BF弧)
在直角三角形OFN和MND中，通过勾股定理可分别求DN和FN的长度。细节不懂可追问。追问
辅助线：连接OF；过D做AB垂线，垂足M，DF交AB于N；
过程简单，通过特殊直角三角形（图中一些直角三角形的长直边是短直边的2倍）和勾股定理，图有所有线段长度均可求。
先看直角三角形CDE，长边是短边的2倍（已知）
通过相似，图中还有ADE、ADB、ADM、DBM都符合这一特性。
故BD=CD=2√5；AC=6；AD=4√5；DM=4；AB=10；BM=2；AM=8
因为DN是角平分线，
所以AD:BD=AN:BN
所以AN=20/3；BN=10/3
则ON=5/3；MN=4/3
而F又是特殊点，即OF垂直AB(因为DF是角平分线，AF弧＝BF弧)
在直角三角形OFN和MND中，通过勾股定理可分别求DN和FN的长度。细节不懂可追问。追问
跪谢 今天终于可以牛逼的把答案给妹妹看了 不过就是细节问题我还看了好久 果然是太久不做数学 真的老了
追答客气了，有位这样负责的哥哥，妹妹的成绩肯定会越来越出色。
我和你也差不多，为了辅导女儿，把初中的数学知识又恶补了一遍。唉，当初自己学的时候也没这么用功啊。不过说实在的，那时候题真的没现在这么难。
温馨提示：答案为网友推荐，仅供参考
第1个回答 2014-11-10
第一问我就不证了，我看你妹妹都证出来了，我就直接证第二问。
用相似和勾股定理的方法先求出△ABD的三边长（应该不难吧），得AD=4√5，BD=2√5，AB=10
DF=DI+IF，所以DF我分两段求
先求DI，过I点作IG⊥DB交DB于点G，那么IG就是△ABD的内接圆的半径，内接圆半径等于2S/(a+b+c)，所以IG=3√5-5，因为△IGD是等腰直角三角形，所以DI=3√10-5√2
再求FI，FI=FA=FB，这是内心里的一个性质，接下来是证明：先求∠FAI=45°+1/2∠BAD
再求∠AIF=∠ADF+∠IAD=45°+1/2∠BAD=∠FAI，所以FI=FA，同理FI=FB，所以FI=FA=FB
而因为△AFB是等腰直角三角形，所以FA=5√2，所以FI=5√2，
所以DF=DI+IF=3√10
用相似和勾股定理的方法先求出△ABD的三边长（应该不难吧），得AD=4√5，BD=2√5，AB=10
DF=DI+IF，所以DF我分两段求
先求DI，过I点作IG⊥DB交DB于点G，那么IG就是△ABD的内接圆的半径，内接圆半径等于2S/(a+b+c)，所以IG=3√5-5，因为△IGD是等腰直角三角形，所以DI=3√10-5√2
再求FI，FI=FA=FB，这是内心里的一个性质，接下来是证明：先求∠FAI=45°+1/2∠BAD
再求∠AIF=∠ADF+∠IAD=45°+1/2∠BAD=∠FAI，所以FI=FA，同理FI=FB，所以FI=FA=FB
而因为△AFB是等腰直角三角形，所以FA=5√2，所以FI=5√2，
所以DF=DI+IF=3√10
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