量子力学 解答

Question

一个质量为m的粒子被限制在r = a和r = b的两个不可穿透的
同心球面之间运动。不存在其它势，求粒子的基态能量和归一化波函数。
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Answer 1

（h代表约化Planck const.)
先看一维无穷势井，假定粒子限定在x=a,x=b处（b>a）；
那么归一化波函数：ψn=√[2/(b-a)]*sin[nπx/(b-a)]；
能级：En=n^2*π^2*h^2/[2m(b-a)^2]

然后看你这个问题：先写出Hamiltonion:
H=[-h^2/2m*▽^2+V(r)],
在：r∈(a,b)的区域,势能为0，
并注意算符▽^2，在球坐标下：
▽^2=1/r^2*[∂/∂r*(r^2*∂/∂r)]+1/(r^2*sinθ)*[∂/∂θ*(sinθ*∂/∂θ)]+1/(r*sinθ)^2*(∂^2/∂φ^2)
=1/r^2*[∂/∂r*(r^2*∂/∂r)-L^2/h^2]
那么r∈(a,b)区域的定态Schrodinger Eq就要写成：
-h^2/(2mr^2)*[∂/∂r*(r^2*∂/∂r)-L^2/h^2]ψ=Eψ......（1）
显然这样看的话，L^2,Lz都与H对易，所以可以选一组力学量的完全集（H,L^2,Lz）的共同本征函数作为完备正交归一的本征函数族，这样的话，算符L^2作用上去就有：L^2ψ=l(l+1)h^2ψ，所以第一个式子改写一下就是：
-h^2/(2mr^2)*[∂/∂r*(r^2*∂/∂r)-l(l+1)/h^2]ψ=Eψ......(2)
由于要求基态，所以轨道角动量要为0，即l=0，所以（2）就要写成：
-h^2/(2mr^2)*[∂/∂r*(r^2*∂/∂r]ψ=Eψ......(3)
解（3）式并不费劲，先分离变量令ψ=R（r）*Y(θ,φ)；则（3）式改写为：
-h^2/(2mr^2)*[∂/∂r*(r^2*∂/∂r]R=E*R......(4)
解（4）只需再做一步换元，令u=rR,代入（4）就得：
u''+2mE/h^2*u=0
上式与一维无穷势井中的Schrodinger Eq一样，所以直接把最开始给你的波函数和能级拿来用就ok了~~~即波函数为：
（基态n=1,l=0,m=0）u=√[2/(b-a)]*sin[πr/(b-a)]*Y_00
注意u=rR,而且Y_00是常数，所以波函数应为：
ψ=√[2/(b-a)]/r*sin[πr/(b-a)]
基态能量为：E=π^2*h^2/[2m(b-a)^2]

Answer 2

从你的教科书上找到球坐标下薛定谔方程的一般解，一般教科书上都分成2部分，径向解和球协解，径向解里应该有个Cos的项，你要让它在r=a和r=b处为0，就是把能量量子化了。

Answer 3

9人死后去了哪里？国外科学家用量子力学解答了这个问题！