某少数民族的刺绣有着悠久的历史，右图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案

Question

某少数民族的刺绣有着悠久的历史，右图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形．（1）求出f（5）；（2）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f（n+1）与f（n）的关系式，并根据你得到的关系式求f（n）的表达式； （3）求 + + +…+ 的值．

Answer 1

解：（1）∵f（1）=1， f（2）=1+4=5， f（3）=1+4+8=13， f（4）=1+4+8+12=25， ∴f（5）=1+4+8+12+16=41． （2）∵f（2）﹣f（1）=4=4×1， f（3）﹣f（2）=8=4×2， f（4）﹣f（3）=12=4×3， f（5）﹣f（4）=16=4×4， 由上式规律得出f（n+1）﹣f（n）=4n． ∴f（n）﹣f（n﹣1）=4（n﹣1）， f（n﹣1）﹣f（n﹣2）=4 （n﹣2）， f（n﹣2）﹣f（n﹣3）=4 （n﹣3）， … f（2）﹣f（1）=4×1， ∴f（n）﹣f（1）=4[（n﹣1）+（n﹣2）+…+2+1] =2（n﹣1） n， ∴f（n）=2n 2 ﹣2n+1． （3）当n≥2时， = = （ ﹣ ）， ∴ + + +…+ =1+ （1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ） =1+ （1﹣ ）= ﹣ ．